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représentation de fonction
Voici le sujet de l'exo: Soit f la fonction définie sur D= R-{-1}
par f(x)=(3x²+4x-4)/(x+1) et Cf sa représentation graphique.
1°/Démontrer que I(-1;-2) est un centre de symétrie de Cf (pour démontrer que
la courbe de la fonction f est symétrique par rapport au point I(-1;-2)
on démontre que si x est un réel tel que a+x app. Df alors a-x appart.
Df et f(a+x)-b= -f(a-x)+b ou encore f(a+x) + f(a-x) =2b
2°/Démontere qu'il existe trois réels a, b et c tels que, pour tout x de
D, on a f(x)=ax+ b+ c/(x+1)
Merci d'avance
1°
f(x)=(3x²+4x-4)/(x+1)
f(-1+x) = (3(-1+x)² + 4(-1+x)-4)/(-1+x+1)
f(-1+x) = (3+3x²-6x-4+4x-4)/(x)
f(-1+x) = (3x²-2x-5)/(x)
f(-1-x) = (3(-1-x)² + 4(-1-x)-4)/(-1-x+1)
f(-1-x) = (3+3x²+6x-4-4x-4)/(x)
f(-1-x) = (3x²+2x-5)/(x)
f(-1+x) + f(-1-x) = -4x/x = -4 indépendant de x
-> le point I(-1 ; -2) est un centre de symétrie de Cf
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2°)
f(x)=ax+ b+ c/(x+1)
f(x) = [(ax+b)(x+1)+c]/(x+1)
f(x) = (ax²+ax+bx+b+c)/(x+1)
f(x) = (ax²+x(a+b)+b+c)/(x+1)
A identifier à : par f(x)=(3x²+4x-4)/(x+1)
->
le système:
a = 3
a + b = 4
b + c = -4
On trouve a = 3; b = 1 et c = -5
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Sauf distraction.
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