Niveau Licence-pas de math

Résidu

Posté par
LordOfLambs 27-04-19 à 15:03

Bonjour à tous,

Je cherche les résidus de la fonction suivante :

$f(z)=\frac{1}{z^{2n}+1}$

les pôles de cette fonction sont-ils $(\pm i)^{\frac{1}{n}}$ ?

si oui quels sont leurs ordres et comment déterminer leurs résidus ?

Merci d'avance

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 15:09

Bonjour

Qu'appelles-tu $i^{1/n}$ ?

Les pôles sont les $2n$ racines de $-1$ .

Il s'agit de pôles simples. Dans ce cas le résidu de la fonction rationnelle $P/Q$ en une racine simple $a$ de $Q$ , vaut $P(a)/Q'(a)$ . (A démontrer si tu ne le sais pas)

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 15:34

merci pour la réponse Camélia

J'ai un peu de mal à comprendre concrètement quelles sont les $2n$ racines de $-1$ ...

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 15:38

Tu dois résoudre

$z^{2n}}=e^{i\pi}$

Le module de $z$ ? Son argument?

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 16:01

On trouve
$z=e^{\frac{i \pi}{2n}}$

de module 1
et d'argument $\frac{\pi}{2n}$

non ?

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 16:07

du coup les pôles sont ils :
$z=e^{\frac{i(2k+1) \pi}{2n}}$ ?

Posté par re : Résidu 27-04-19 à 16:10

Non.

Le module est bien 1, mais l'argument $t$ vérifie $2nt\equiv \pi \pmod{2\pi}$ . Donc il existe $k$ tel que $2nt=\pi+2k\pi$

Les $2n$ racines sont donc $z_k=e^{(2k+1)i\pi/2n}$ pour $0\leq k\leq 2n-1$