(x²-1)/(x(x²+1)) < 1
x = 0 est une valeur interdite.

(x²-1)/(x(x²+1)) - 1 < 0

(x²-1-x³-x)/(x.(x²+1)) < 0

Comme x²+1 > 0 quel que soit x ->
(x²-1-x³-x)/x < 0
(x³-x²+x+1)/x > 0

L'étude de l'équation x³-x²+x+1 = 0 montre que cette équation a une seule solution réelle qui est x = -0,54368901269...
on a x³-x²+x+1 = (x + 0,54368901269...)(x²+ax+b)
avec x²+ax+b = 0 qui a un discriminant négatif (puisque x³-x²+x+1=0 n'a qu'une solution réelle).
-> x²+ax+b a le signe de son coeff en x², soit positif pour tout x.

Donc (x³-x²+x+1)/x > 0 si  (x + 0,54368901269...)/x > 0
et comme 0 est une valeur interdite, on a finalement:

x compris dans ]-oo ; -0,54368901269...[ U ]0 ; oo[ convient.
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Si cela t'intéresse, rappel de la théorie pour trouver les solutions d'une équation du 3ème degré.

<A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-un-polymome-dun-troisieme-degre-qui-pose-probleme-13844.html">En cliquant ici</A>
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Sauf distraction.  

Effectivement merci pour le lien !
Je n'ai pas compris la théorie pour trouver les solutions d'une équation du 3ème degré : je suis sur que vous vous en doutiez ( le lien )
Pouvez vous m'expliquer car mon prof me semble pas nous l'avoir expliqué de la meme manière !
Votre manière de faire me semble plus facile.
Si vous le pouvez pouvez vous me detailler l'équation ?
Merci en tout cas. Un camarade de clase m'a donné une otre strategie :
Il s'agit de trouver une fonction f telle que pour tout x > 0, on ait x²-1 < f(x) et une fonction g telle que ,pour tout x > 0,on ait x(x²+1) > g(x) > 0 et de telle sorte que f(x)/g(x) < 1.
C'est le meilleur de la classe ! Je ne voit pas ce qu'il a voulu faire ! Pouvez vous encre une fois m'expliquer.
MERCI BEAUCOUP A VOUS !

?

Remarque que je n'ai pas lu tout l'énoncé.

Le fait que x > 0, simplifie un peu.

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Voici une manière qui ne nécessite pas la résolution de l'équation du 3 ème degré.

(x²-1)/(x(x²+1)) < 1

Comme x(x²+1) > 0, on peut multiplier les 2 cotés de l'inéquation par x(x²+1) sans modifier le signe de celle-ci ->

x²-1 < x(x²+1)
x²-1 < x³+x
x³-x²+x+1 > 0

Donc montrer que (x²-1)/(x(x²+1)) < 1 revient à montrer que x³-x²+x+1 > 0.  (1)

f(x) = x³-x²+x+1
f '(x) = 3x²-2x+1

Le discriminant de 3x²-2x+1 = 0 est négatif et donc 3x²-2x+1 a le signe de son coefficient en x² soit positif et ceci quel que soit x.
-> f '(x) > 0 et f(x) est croissante.

lim(x->0) f(x) = 0 -0+0+1 = 1

Comme f(0) = 1 et que f est croissante, on a donc:  f(x) > 1 pour x > 0
et donc a fortiori, on a f(x) > 0 pour x > 0

Soit x³-x²+x+1 > 0 pour x > 0
et par (1), on a: (x²-1)/(x(x²+1)) < 1 pour x > 0
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Sauf distraction.  

---------------OK !--------------
Mon camarade m'a dit qu'il était content du fait que vous ayez fais sa correction ! Etant donné qu'il ai fait la 2ème strategie, (la plus facile à mon gout !) et qu'il ai été le seul a vouloir la fair il se demandait si ce n'était pas lui qui était hors sujet
Merci a vous en tout cas je choisirait entre les 2 strategie / J'ai (en lisant mes cours) un tout petit peut mieux compris le 3ème degré.......
En esperant réussir a fair le mm métier que vous ! lol !
A Bientot***