Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Resolution d'une equation dui 3è degré
Bonjour, j'ai un petit probleme sur un exercice
---------------------------------------------------------------------------------
On considère la fonction définie sur R par : f(x) = x^3 + 3x- 4
1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.
2. Tracer la courbe Cf représentant la fonction f sur un repère orthogonal.
3. A l'aide du graphique, déterminer les coordonnées du point A d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses, puis confirmer le résultat à l'aide d'un calcul.
4. En déduire l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur R que l'on précisera
------------------------------------------------------------------------------
Merci de votre aide ...
f(x) = x^3 + 3x- 4
1)
Si tu as appris à dériver :
f '(x) = 3x² + 3 = 3(x² + 1)
f '(x) > 0 sur R --> f(x) est strictement croissante sur R.
---
Si tu ne n'as pas appris à dériver.
f(a) = a³ + 3a - 4
f(b) = b³ + 3b - 4
f(b) - f(a) = b³ - a³ + 3(b-a)
f(b) - f(a) = (b-a)(a² + ab + b²) + 3(b-a)
f(b) - f(a) = (b-a)(a² + ab + b² + 3)
si a < b <= 0, ab >= 0
a²+b²+3 >= 0 (puisque des carrés sont toujours >= 0 et que 3 > 0)
Comme a < b; (b-a) > 0
--> f(b) - f(a) >= 0
f(b) >= f(a)
Et donc f est strictement croissante sur ]-oo ; 0] (1)
Si 0 <= a < b, ab >= 0
a²+b²+3 >= 0 (puisque des carrés sont toujours >= 0 et que 3 > 0)
Comme a < b; (b-a) > 0
--> f(b) - f(a) >= 0
f(b) >= f(a)
Et donc f est strictement croissante sur [0 ; +oo[ (2)
(1) et (2) --> f est strictement croissante sur R.
-----
Sauf distraction. 
3 et 4)
Pour le calcul :
f(x) = x^3 + 3x - 4
f(x) = x^3 - x + 4x - 4
f(x) = x(x²-1) + 4(x-1)
f(x) = x(x-1)(x+1) + 4(x-1)
f(x) = (x-1).[x(x+1) + 4]
f(x) = (x-1).(x²+x+4)
f(x) = (x-1).(x²+x + 1/4 - 1/4 + 4)
f(x) = (x-1).[(x + (1/2))² - 1/4 + 4)
f(x) = (x-1).[(x + (1/2))² + 15/4]
(x + 1/2))² >= 0 car c'est un carré --> (x + (1/2))² + 15/4 > 0 et donc f(x) = 0 seulement si (x-1) = 0
--> pour x = 1
Donc f(x) = 0 a une seule solution qui est x = 1.
-----
Sauf distraction.
1)
Ne pas confodre stritement positif et strictement croissante.
2)
Pourquoi ne pas regarder mes précédentes réponses ?
La conclusion y est faite.
pour la 1) j'ai modifier quelques notions ...
* image externe expirée : merci d'utiliser l'option d'attachement du forum pour éviter ces désagréments *
Est ce que c'est bon ?
anto2b
"ou c'est que j'ai confondu strictement positif et strictement croissante ?"
Dans la première ligne de ta réponse du 03-10-08 à 19:19
A la fin, il faut écrire [0 ; +oo[ et pas ]0 ; +oo]
Et à la dernière ligne, il manque le mot "strictement".
pour la 4 il faut pas conclure comme ceci :
Pour x < 1 : f(x) < 0 ( l'équation f(x)=0 est IMPOSSIBLE dans ce cas )
Pour x = 1 : f(x) = 0 ( l'équation f(x)=0 admet 1 pour solution )
Pour x > 1 : f(x) > 0 ( l'équation f(x)=0 est IMPOSSIBLE dans ce cas )
Je récapitule toute mes réponses :
Pour la 1)
Pour la 2) graphique , pas de problème
Pour la 3)
Pour la 4)
EST CE QUE C'EST BON ?
anto2b,
Merci de limiter l'usage des images aux figures... Il y a tous les outils nécessaires pour copier du texte, même avec quelques éléments mathématiques, sur le forum.
Et si tu dois attacher des images, merci d'utiliser l'option prévue sur le site lui-même :
la FAQ du forum
Annuler
connectez vous