Niveau BTS

Résolution triangle sphérique - Généralité

Posté par
FitzBdx 16-09-11 à 15:11

Bonjour à tous,
petit problème de trigo sphérique, le but est de résoudre un triangle sphérique quelconque sachant que l'on connait la valeur d'un de ses côté (c), l'angle opposé à ce coté () ainsi que la somme des deux autres côtés (a+b). Je note et les côtés opposés respectifs à a et b.

J'ai procédé ainsi, l'analogie de Delambre nous donne 4 relations dont deux appropriées (a priori) à mon cas de figure:

$\large cos(\frac{\alpha+\beta}{2})=\frac{cos(\frac{a+b}{2})}{cos(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2})$     et
$\large cos(\frac{\alpha-\beta}{2})=\frac{sin(\frac{a+b}{2})}{sin(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2})$

Du coup j'obtiens le système:

$\left\lbrace\begin{array}l \alpha+\beta=2arccos(\frac{cos(\frac{a+b}{2})}{cos(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2}))   (1)  \\ \\ \alpha-\beta=2arccos(\frac{sin(\frac{a+b}{2})}{sin(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2}))   (2)\end{array}\right$

Donc en additionnant $(1)$   et   $(2)$ il vient:

$\left\lbrace\begin{array}l \alpha=arccos(\frac{cos(\frac{a+b}{2})}{cos(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2})) + arccos(\frac{sin(\frac{a+b}{2})}{sin(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2})) \\ \beta=2arccos(\frac{cos(\frac{a+b}{2})}{cos(\frac{c}{2})}sin(\frac{\gamma}{2}))-\alpha \end{array}\right$

Pour le moment rien de bien sorcier (à supposer que je ne me suis pas trompé..), le vrai problème réside dans le fait d'énumérer les cas ou les conditions de résolution du triangle sont respectés. En effet, dans quelles conditions peut-on calculer et , dans quelles conditions les valeurs de et sont-elles comprises en 0 et , dans les formules, garder en tête que cos et sin sont compris entre -1 et 1 etc...

C'est pourquoi vos précision concernant cet exercices me seront fort utiles! Par avance, merci à tous.
Cordialement.