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Résoudre un système d'équation par substitution

Posté par
Caamille
05-11-11 à 18:20

Bonjour,

J'aurai besoin d'un petit coup de main pour m'aider à comprendre la méthode par substitution , avec l'exemple suivant :
2x - 4y = -24
3x + 7y = 29  

Cordialement, en vous remerciant.                  

Posté par
littleguy
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:24

Bonjour

Par exemple :

La première équation peut s'écrire : x-2y = -12

donc x = 2y-12

La seconde s'écrit alors 3(2y-12)+7y = 29

Tu en déduis y.

Puis x.

Posté par
Bachstelze
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:29

Bonjour

On fait ça au collège, si je ne m'abuse...

Tu utilises la première équation pour exprimer x en fonction de y :

2x - 4y = -24
2x = -24 + 4y
x = -12 + 2y = 2y - 12

Puis tu remplaces x par ça dans la deuxième équation :

3x + 7y = 29
3(2y - 12) + 7y = 29
6y - 36 + 7y = 29
13y = 65
y = 65/13 = 5

Et enfin en remplaçant y par ça dand l'expression de x en fonction de y :

x = 2y - 12
x = 10 - 12 = -2

On peut vérifier en remplaçant x et y par les valeurs trouvées dans les équations de départ :

2x - 4y = 2*(-2) - 4*5 = -4 - 20 = -24
3x + 7y = 3*(-2) + 7*5 = -6 + 35 = 29

Posté par
Caamille
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:30

Justement c'est pour développer les calculs que je n'y arrive pas .

Posté par
Caamille
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:33

Oui Bachstelze, mais déjà au collège j'étais un peu perdue, d'où certaines incompréhensions, et après tout, chacun a ses points faibles . En tout cas, merci de ton aide.  

Posté par
Jay-M
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:52

Bonsoir.

\text{On a}\ \left\lbrace\begin{array}l 2x - 4y = -24 \\ 3x + 7y = 29 \end{array}\text{.}

\text{Par substitution, on commence par exprimer}\ x\ \text{en fonction d'}y\ \text{dans la première équation :}

2x - 4y = -24\text{.}

2x = -24 + 4y\text{.}

x = \dfrac{-24 + 4y}{2}\text{.}

x = \dfrac{-24}{2} + \dfrac{4y}{2}\text{.}

x = -12 + 2y\text{.}

\text{On remplace ensuite}\ x\ \text{par}\ \left(-12 + 2y \right)\ \text{dans la deuxième équation :}

3x + 7y = 29\text{.}

3 \times \left(-12 + 2y \right) + 7y = 29\text{.}

3 \times \left(-12 \right) + 3 \times 2y + 7y = 29\text{.}

-36 + 6y + 7y = 29\text{.}

-36 + 13y = 29\text{.}

13y = 29 + 36\text{.}

13y = 65\text{.}

y = \dfrac{65}{13}\text{.}

\underline{y = 5}\text{.}

\text{Puis on remplace}\ y\ \text{par}\ 5\ \text{dans la première équation :}

2x - 4y = -24\text{.}

2x - 4 \times 5 = -24\text{.}

2x - 20 = -24\text{.}

2x = -24 + 20\text{.}

2x = -4\text{.}

x = \dfrac{-4}{2}\text{.}

\underline{x = -2}\text{.}

\text{Donc le couple solution du système est}\ \boxed{\left(-2\ ;\ 5 \right)}\text{.}

Posté par
Jay-M
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 18:58

Citation :
On fait ça au collège, si je ne m'abuse...

En effet, on apprend à résoudre des systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues à l'aide de 2 méthodes différentes (par substitution et combinaison linéaire ou élimination) quand on est au collège et plus précisément en 3ème...

Posté par
Caamille
re : Résoudre un système d'équation par substitution 05-11-11 à 19:04

Merci à tous de votre aide, je comprends mieux, et c'est déjà plus clair.
D'autres exo m'attendent, cette fois plus facile.
& encore merci.



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