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scalaire et alignement
j'aurais besoin de votre aide pour une question d'une exo:
voila:
soit ABCD un carré. F appartient à DC tel que DF=a. et FC=b.
H appartient à AB tel que AH=a et HB=b.
G appartient à DA tel que DG=a et GA=b.
E appartient à CB tel que CE=a et EB=b.
Les droites (EG) et (FH) se coupent en I.
Et les droites (BF) et (DE) se coupent en J.
a)il faut calculer 9 scalaires dont en particulier AF.DE=0 et AI.EF=0.(je
les ai trouvés).
La question que je ne trouve pas est la b.
b)démontrer que A,I et J sont alignés. Je n'ai vraiment pas d'idée
pour le prouver.
Si vous en avez une... merci d'avance.
Par la géométrie analytique:
Choix d'un repère:
I comme origine
GE comme axe des abscisses.
HF comme axe des ordonnées.
Dans ce repère, on a:
I(0 ; 0)
A(-a ; -b)
D(-a ; a)
E(b ; 0)
F(0 ; a)
B(-b ; b)
Equation de (FB): y = -[(a+b)/a]x + a (1)
Equation de (DE): y = -[a/(a+b)]x + (ab/(a+b)) (2)
Les coordonnées de J se trouvent en résolvant le système des 2 équations
ci-dessus.
-> -[(a+b)/a]x + a = -[a/(a+b)]x + (ab/(a+b))
qui donne:
x = a²b/(a²+b²+ab)
remis dans (1) ->
y = ab²/(a²+b²+ab)
On a donc J(a²b/(a²+b²+ab) ; ab²/(a²+b²+ab))
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Equation de (AI) : y = (b/a).x
On vérifie que les coordonnées de J satisfont l'équation de (AI)
-> J est sur (AI) et donc les points A, I et J sont alignés.
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Sauf distraction.
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