entrer par exemple n = 4 et exécuter l'algorithme "à la main" :
toutes les opérations dans l'ordre où elle sont exécutées (il n'y a pas de "SI" dans cet algorithme)
et quand on écrit S prend la valeur S+1, c'est la valeur actuelle de S quelle qu'elle soit à ce moment là qui est augmentée de 1

S = 0
k = 1
j = 1 : S = 0 + 1 = 1
k = 2
j = 1 : S = 1 + 1 = 2
j = 2 : S = 2 + 1 = 3
k = 3
j = 1 : S = 3 + 1 = 4
j = 2 : S = 4 + 1 = 5
j = 3 : S = 5 + 1 = 6
k = 4
j = 1 : S = 6 + 1 = 7
j = 2 : S = 7 + 1 = 8
j = 3 : S = 8 + 1 = 9
j = 4 : S = 9 + 1 = 10

fini : S contient la valeur 10, le résultat de cet algorithme.

dans la boucle "pour j" combien de fois a-t-on ajouté 1 ?
(la réponse dépend de k !!)

et donc quand on fait la somme de ça pour k de 1 à n cela revient à additionner quels nombres ?

Ça revient à additionner k+j+1 non ?

dans la boucle pour j on ajoute k fois 1, c'est à dire on ajoute k
donc en tout on aura calculé
1
+2
+3
+4
...
+n
toutes les valeurs de k de 1 à n

ici dans l'exemple "à la main" on a bien additionné 1 + 2 + 3 + 4 et donc S = 10

Ah d'accord. Mais c'est un exemple avec n=4 or je ne sais pas comment répondre à la question principale avec ça. Mon souci avec cet exercice c'est que je ne sais pas comment rédiger la façon d'obtenir S.

c'est comme pour l'exemple mais tu raisonnes en symbolique en partant de la boucle la plus intrene :

cette boucle :
pour j de 1 à k
ajouter 1 (à S)

est une façon tordue de dire simplement
ajouter k (à S)

k fois 1 c'est k, arithmétique élémentaire (k*1 = k)

donc ton algo est équivallent à

pour k de 1 à n
ajouter k (à S)

ce qui fait bien
à partir de S = 0

ajouter
1 + 2 + ... + n

donc finalement cet algorithme calcule la somme des n premiers entiers pour toute valeur de n qu'on lui fournit.

Donc je mets en réponse :

Pour k de 1 à n
Ajouter k (à S)

A partir de S=0

Ajouter
1+2+...+n = S

tu rédiges
si tu en mets juste quelques bouts "copiés collés", autant dire "l'algorithme calcule évidemment la somme des n premiers entiers" et rien d'autre

On sait que S prend la valeur S+1 à tout moment.
On ajoute k (à S) pour k de 1 à n.
Alors à partir de S=0, on ajoute 1+2+...+n.
Donc finalement cet algorithme calcule la somme des n premiers entiers pour toute valeur de n qu'on lui fournit.

il te manque le bout qui dit que la boucle "pour j" revient à ajouter k à S.
et la phrase "On sait que S prend la valeur S+1 à tout moment" ne veut rien dire.

Lorsqu'on doit ajouter 1 (à S) pour j de 1 à k, cela revient à dire qu'il faut ajouter k (à S)
On ajoute donc k (à S) pour k de 1 à n.
Alors à partir de S=0, on ajoute 1+2+...+n.
Donc finalement cet algorithme calcule la somme des n premiers entiers pour toute valeur de n qu'on lui fournit.
Donc, à partir de S=0, la valeur de S est égale à 1+2+...+n.

Impeccable.
(la dernière redite est inutile, tu viens de le dire 2 lignes au dessus)

Ah oui la boulette :^)

Merci de ton aide, elle m'a été très précieuse ! Bonne continuation.