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Sens de variation

Posté par
alexhdmt
14-05-23 à 16:38

Bonjour,
"Un modèle étudie l'évolution d'une population de lapines dans un parc naturel. Initialement, la population est formée d'une lapine adulte (a0=1) et de deux jeunes lapines (j0=2). On note an le nombre de femelles adultes et jn le nombre de jeunes femelles, n années après le début de l'observation.
On pose pour tout nombre entier naturel n, Sn= an+jn.
On admet que pour tout nombre entier naturel n,
jn+1= 2jn+6an
an+1=0.5jn
a) Afficher à l'aide du tableur les premiers termes des suites (an) et (jn)/
b) Conjecturer la limite de la suite (\frac{S_{n+1}}{S_{n}}) et interpréter cette valeur.
c) On admet que pour tout nombre entier naturel n,
jn= [3-(-\frac{1}{3})^{n}]*3^{n}.
Etudier le sens de variation des suites (jn) et (an)."

Je bloque sérieusement sur la question c) car pour étudier le sens de variation il faut que je fasse jn+1-jn et je ne sais pas comment m'y prendre correctement avec les puissances. Voici mon développement:
jn+1-jn= [3-(-\frac{1}{3})^{n+1}]*3^{n+1}-[(3-(-\frac{1}{3})^{n})*3^{n}]
=[3^{n+2}-(-1)^{n+1}]-[3^{n+1}-(-1)^{n}]
C'est ici que je me retrouve coincé
Merci pour votre aide!

Posté par
malou Webmaster
re : Sens de variation 14-05-23 à 17:05

Bonjour
N'aie pas peur
Enlève tes crochets et regroupe les termes qui se ressemblent
Et refactorise...

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 14-05-23 à 17:26

Je vais procéder par étapes parce que je ne suis pas capable d'aller jusqu'à la factorisation, les puissances me mettent vraiment en échec.
Donc si j'enlève les crochets, j'ai:
3(n+2)-(-1)(n+1)-3(n+1)+(-1)n
Et ensuite si je regroupe les termes similaires, on obtient:
3(n+2)-3(n+1)-(-1)(n+1)+(-1)n
Il n'y a pas d'erreur pour l'instant?

Posté par
Pirho
re : Sens de variation 14-05-23 à 18:09

Bonjour,

en attendant le retour de malou

c'est juste, continue

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 14-05-23 à 18:33

J'obtiens:
3(n+1)(3-1)+(-1)n(1+1)= 2*[3(n+1)+(-1)n]
Toujours ok jusque là?

Posté par
Pirho
re : Sens de variation 14-05-23 à 18:41

oui

Posté par
alexhdmt
re : Sens de variation 14-05-23 à 18:54

D'accord et pour finir je peux donc répondre que:
3(n+1)>(-1)n 3(n+1)-(-1)n>0
Par conséquent: jn+1-jn>0
j est une suite croissante.
De plus, on sait que a(n+1)=0.5jn
Ainsi a(n+2)-a(n+1)=0.5(j(n+1)-jn).
Par conséquent a est aussi une suite croissante.

Posté par
Pirho
re : Sens de variation 14-05-23 à 20:15

ça me paraît juste!



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