salut

non et oui :

  donc

donc par différence :

donc a même signe que

donc la différence de deux termes consécutifs garde un signe constant : celui de


ces deux dernières lignes peuvent éventuellement être considérées comme un raisonnement par récurrence qu'il faudrait expliciter clairement en terminale mais dont on peut se passer en quantifiant proprement par un en première (donc en terminale aussi)

Bonjour,
Un avis de néophyte:
Il me semble évident, mais je n'ai pas la technique idoine pour le démontrer, que tous les u_n sont positifs.
On multiplie des nombres positifs et qu'on y ajoute 1. Pas très formel.
De plus, u_n+1-u_n=u_n/2+1>0
Est-ce que ça ne suffit pas?

Je suis d'accord avec vous ; mais pour moi, c'est quand-même un raisonnement par récurrence, même si je conçois que la récurrence est très immédiate. Chacun met la ligne où il veut

Et pour un élève en première, pas forcément très matheux, c'est loin d'être aussi immédiat que pour nous

Bonjour,

Si Un > 0, alors (1,5. Un + 1) > 0, donc U(n+1) > 0

Comme U(0) > 0, tous les U(n) sont > 0.
------------
U(n+1) - U(n) = 0,5 Un + 1 > 0  (puisque Un > 0) -->

U(n+1) > Un
La suite est croissante.

Bonjour,
Une autre voie un peu alambiquée :
Utiliser -2 la solution de x = 1,5x + 1 .

u_n+1 = 1,5 u_n + 1
-2 = 1,5 (-2) + 1
En soustrayant membre à membre :
u_n+1 + 2 = 1,5 (u_n + 2)

La suite (u_n + 2) est géométrique de raison 1,5 et de premier terme positif ; donc croissante.
Idem pour la suite (u_n).