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Sens de variation suite, Un = 2^n/n

Posté par
Yugnat97 29-01-14 à 14:40

Bonjour, je n'arrive pas à déterminer le sens de variation la suite Un=2^n/n.

Avec la méthode 1 (Un+1-Un) je bloque au développement, avec la méthode 2 (quotient) je bloque également au développement.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
sanantonio312re : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 14:42

Bonjour,
Par le quotient, tu obtiens Un+1/Un=2n/(n+1) à comparer avec 1.

Posté par
Camélia Correcteurre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 14:42

Bonjour

En faisant le quotient ça vient tout seul.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 14:55

Oui, on montre que U(n+1)/U(n) = 2n/(n+1) > 1 (pour n > 1)

Mais pour pouvoir en conclure que Un est croissante, il faut aussi préciser (ou démontrer ?) que tous les U(n) sont > 0.

Posté par
Yugnat97Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 15:02

Merci, pouvez-vous m'expliquez les étapes s.v.p ? Je n'arrive pas à comprendre

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:11

U_n = \frac{2^n}{n}

U_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{n+1}

\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}} = \frac{2n}{n+1}

Et donc \frac{U_{n+1}}{U_n} > 1 pour n > 1

Comme U_n = \frac{2^n}{n} > 0 pour tout n de N*, on a donc U_{n+1} > U_n pour n > 1

Et donc ...

Sauf distraction.  

Posté par
Yugnat97Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:27

Justement c'est LA dernière étape que je comprend pas, en cours pour enlevez la double fraction nous multiplions par l'inverse du dénominateur, et moi en faisant ça,je n'arrive pas à 2n/n+1. En fait j'arrive à rien. C'est la bonne méthode ?

Posté par
sanantonio312re : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:36

Là, c'est pareil, diviser par 2n/n, c'est multiplier par n/2n
Ensuite, petite simplification: 2n+1/2n=2

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:37

Diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction inversée.

\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}} = \frac{2^{n+1}}{n+1} * \frac{n}{2^n} = \frac{2^{n+1)}{2^n} * \frac{n}{n+1}  

Posté par
Camélia Correcteurre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:37

\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}\times \dfrac{n}{n+1}=2\times \dfrac{n}{n+1}

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:40

Diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction inversée.

\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}} = \frac{2^{n+1}}{n+1} * \frac{n}{2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} * \frac{n}{n+1} = 2.\frac{n}{n+1} = \frac{2n}{n+1}  

Posté par
Yugnat97Sens de variation suite, Un = 2^n/n 29-01-14 à 16:49

Ahh ! Merci beaucoup j'avais pas penser à inverser les dénominateurs des deux fractions après avoir multiplié par l'inverse.
Merci encore, bonne soirée


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