Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Séries de Laurent

Posté par
Saiga 16-06-20 à 20:51

Bonsoir,

J'ai quelques exercices sur les séries de Laurent qui me posent problème...

Exercice : Donner le développement en série de Laurent de fonctions suivantes :

(a)   $z\mapsto \cfrac{1}{(z-1)(z-2)}\$    sur   $\C\backslash\{1,2\}$ .

(b) $z\mapsto\exp\left(z+ \frac{1}{z}\right)\$ sur $\C\backslash\{0\}$

(c) $z\mapsto z^2\exp\left(\frac{1}{z}\right)\$ sur $\C\backslash\{0\}$

(d) $z\mapsto\cfrac{e^z}{z(1-z)}\$ sur $\left\{ z\in \C : |z|>1\right\}$

(e) $z\mapsto \cfrac{1}{z^2+1}$ sur $\left\{ z\in \C : 0< |z-i|<2\right\}$
____________________________________________________________________________________________

Alors, pour le coup je n'ai pas fais grand chose, car je n'ai jamais compris à quoi servait les séries de Laurent et comment on pouvait s'en servir ou les trouver...
Néanmoins voici ce que j'ai fait jusqu'ici :

(a) Je n'ai rien du tout, je vois pas par où commencer...

(b) J'ai juste écris que : $\exp(z+\frac{1}{z}) = \exp(z)\exp(1/z)$ et puisque la fonction exponentielle complexe est holomorphe sur $\C$ , on a que : $\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty  \frac{z^n}{n!}$ et $\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty  \frac{1}{n!z^n}$ sur   $\C\backslash\{0\}$ .

Après j'ai bien envie de faire le produit de Cauchy, car on a la convergence absolue des deux séries sur   $\C\backslash\{0\}$ , par le biais de leur convergence normale sur les cercles de rayon $r>0$ . Mais après je ne vois pas comment je peux récupérer une série indexé par $\Z$ ...

Pour éviter un message trop long, je vous propose de voir les autres plus tard...

Posté par re : Séries de Laurent 16-06-20 à 21:56

Bonsoir

En série de laurent, ça sous-entend que c'est au voisinage d'un point en particulier, non ?

Posté par re : Séries de Laurent 16-06-20 à 22:10

Il me semble aussi... Je pense là que le point en question est 0 pour chaque question... Cela dit je n'en suis pas certain... Mes connaissances sur les séries de Laurent sont plus que fragmentaires...

Posté par re : Séries de Laurent 17-06-20 à 10:05

Bonjour Saiga,

je n'ai pas fait beaucoup de séries de Laurent à cause du confinement, mais ils sont utiles pour connaître d'un simple coup d'œil le résidu d'une fonction méromorphe en une singularité isolée (et c'est bien pour le calcul de certaines intégrales avec le théorème des résidus). Il y a d'autres raisons, mais je ne suis pas assez renseigné sur ça.

Tu dois comprendre que le série de Laurent est utile autour d'un pôle ou d'une singularité essentielle, si on le fait autour d'une singularité éliminable on retombe sur un développement de Taylor sans indices négatifs.

Pour la (a), tu peux faire une décomposition en éléments simples et faire le développement en série de Laurent des deux termes que tu trouveras autour des singularités isolées voulues par exemple.

Posté par re : Séries de Laurent 17-06-20 à 14:10

salut

si pour faire des math tu te poses la question de à quoi ça sert alors il faut arrêter de faire des math ... car par principe faire des math ne consiste jamais à ce poser cette question ...

$\dfrac 1 {(z - 1)(z - 2)} = \dfrac 1 {z - 2} - \dfrac 1 {z - 1} = \dfrac 1 {1 - z} - \dfrac 1 2 \dfrac 1 {1 - \dfrac z 2}}$

et on connait le développement en série de $\frac 1 {1 - h}$ ...

$\exp (z + \frac 1 z) = \sum_{n \ge 0}\dfrac {(z + \frac 1 z)^n} {n!} = ...$

développer avec le binôme de Newton puis regrouper les termes de même puissance (négative ou positive)

c/ idem b/ mais encore plus simple ...

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse complexe en post-bac
2 fiches de mathématiques sur "analyse complexe" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Séries de Laurent

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths