Niveau BTS

sin x - cos x =???

Posté par fun10 (invité) 22-03-05 à 22:19

Bonjour
j'ai 40 ans et j'ai arrêté les cours à 24.
Il met bien difficil de reprendre.
Pouvez vous m'aider pour :
résoudre dans R :
sinx-cosx= racine carré de 6 divisé par 2
merci

Posté par re : sin x - cos x =??? 22-03-05 à 22:34

Bonjour

Il suffit d'écrire :
$\begin{tabular}sin(x)-cos(x)&=&\sqrt{2}$\frac{1}{\sqrt{2}}sin(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x)$\\&=&\sqrt{2}$cos(\frac{\pi}{4})sin(x)-sin(\frac{\pi}{4})cos(x)$\\&=&\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})\end{tabular}$

L'équation devient alors :
$\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{6}}{2}$
soit
$sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
ie
$sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
il en advient :
$sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{3})$
il s'ensuit :
$\rm\{{x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}[2\pi]\\ou\\x-\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{3}[2\pi]$
Au final :
$3$\red\rm\{{x=\frac{7\pi}{12}[2\pi]\\ou\\x=\frac{11\pi}{3}[2\pi]$

jord

Posté par re : sin x - cos x =??? 22-03-05 à 22:49

Bonsoir fun10,

$\rm sin(x)-cos(x)=\sqrt{6}{2}$

$\rm\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\times (sin(x)-cos(x))=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\rm\Longleftrightarrow$ $\red\frac{\sqrt{2}}{2}$ $sin(x)-$ $\green\frac{\sqrt{2}}{2}$ $cos(x)=$ $\blue\frac{\sqrt{12}}{4}$

or $\red\rm\frac{\sqrt{2}}{2}=cos(\frac{\pi}{4})$ ; $\green\frac{\sqrt{2}}{2}=sin(\frac{\pi}{4})$ ; $\blue\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}=cos(\frac{\pi}{6})$

et donc en remplaçant on obtient :

$\rm sin(x)-cos(x)=\sqrt{6}{2}$

$\rm\Longleftrightarrow$ $\red cos(\frac{\pi}{4})$ $sin(x)-$ $\green sin(\frac{\pi}{4})$ $cos(x)=$ $\blue cos(\frac{\pi}{6})$

or $cos(a)sin(b)-cos(b)sin(a)=cos(a+b)$ et donc avec a=\frac{\pi}{4} et b=x on obtient :

$\rm sin(x)-cos(x)=\sqrt{6}{2}$

$\rm\Longleftrightarrow cos(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{6}$

or $\rm cos(a)=cos(b) \Longleftrightarrow a = b [2\pi] ou a = -b [2\pi]$

on en déduit que :

$\rm sin(x)-cos(x)=\sqrt{6}{2}$

$\rm\Longleftrightarrow \frac{\pi}{4} + x = \frac{\pi}{6} [2\pi] ou \frac{\pi}{4} + x = -\frac{\pi}{6} [2\pi]$

soit $4$\rm\blue\fbox{x=-\frac{\pi}{12} [2\pi] ou x= -\frac{5\pi}{12} [2\pi]$

Salut