Bonsoir

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Pas trop compris mais déjà pour x+x²=1.....
- et  -1

Les accolades représentent des parties fractionnaires , par exemple {1,32}=0,32 . D'autre part le nombre d'or n'est pas rationnel ( fraction de 2 entiers ) .

Imod

Bonsoir,

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je crois qu'il n'y a pas de solutions.

Oui Verdurin

Je peux sans doute t'aider à le montrer en te demandant de chercher les rationnels x pour lesquels : {x}+{x²}=entier .

Imod

Bonjour,

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On voit de suite qu'aucune valeur entière de x ne peut convenir. Il en va de même pour les valeurs rationnelles. En effet :

Si x>0 , comme {x}=x-E[x] , et {x²}=x²-E[x²] on est conduit à résoudre une équation du second degré du type

x²+x=E[x]+E[x²] +1= N entier.

(1+4N) devant être rationnel, 1+4N doit être un carré, qui plus est d'un nombre pair (sinon les racines de l'équation seraient des entiers), soit 4N+1=(2p)² et 4 devrait diviser (2p+1)(2p-1) ce qui est impossible.

Même topo avec x<0, mutatis mutandis.

_{sauf erreur}

Bonjour Larrech

C'est la bonne réponse mais il faut chercher beaucoup plus simple

Imod

Bonjour Imod,

Mon raisonnement ne tient pas?

Si mais x+x² entier ne peut-il pas s'exprimer simplement avec x=a+b/c ?

Oui, effectivement je suis allé chercher trop compliqué.

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x+x² entier implique que c divise b,  or manifestement un entier ne peut être solution.

La solution irrationnelle est - et -1

Et une infinité d'autres :



Imod

Larrech : Oui , la solution est élémentaire quand on l'a vue , c'est donc un exercice simple

Imod

Bonjour,

je complète la réponse de Imod concernant les solutions réelles de l'équation .

Je me suis rendu compte qu'une astuce permet d'obtenir une expression très simple des solutions réelles :

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Comme on a .
L'équation est donc équivalente à avec d'où avec .

Les solutions sont donc les réels de la forme avec , .

Sommes de parties décimales ( 2 )