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Statistiques : intervalle de confiance et conformité
Bonjour,
Je viens solliciter vos encouragements et votre aide.
J'ai des devoirs de vacances à rendre.
Là, il s'agit d'un exercice de statistiques.
Vous trouverez ci-dessous le problème et mes réponses.
Je manque de sûreté et je ne comprends pas tout ce qui m'est demandé ...
Voici le problème :
Une enquête faite en 2000 aux Etats-Unis auprès de 40000 personnes tirées au hasard a révélé 8040 personnes obèses.
a) Calculer la proportion de personnes obèses dans cet échantillon.
Ma réponse : 0,201 soit une proportion de 20,1%
b) Déterminer l'intervalle de confiance (fourchette de sondage), au seuil de 95 %, donnant la proportion de personnes obèses dans la population totale de ce pays.
Ma réponse : [0,196;0,206]
Une autre enquête à la même période, faite auprès de 10000 personnes, dans les mêmes conditions, a révélé 2080 personnes obèses.
Le résultat de cette enquête est-il compatible avec le précédent ?
Ma réponse :
- Calcul de la proportion de personnes obèses : 20,8%
- Intervalle de confiance : [0,198;0,218]
Comment savoir si ce résultat est compatible avec le précédent ? 
On considère que la réelle proportion de personnes obèses dans la population totale des Etats-Unis est le centre de l'intervalle, intersection des deux intervalles de confiance des enquêtes ci-dessus.
Calculer cette proportion.
Ma réponse :
- Intervalle retenue : [0,198;0,206]
- Proportion : 20,2%
Une enquête faite dans une ville sur 676 personnes révèle 162 personnes obèses.
Doit-on considérer, au seuil de 95%, que cet échantillon est conforme à ce que l'on peut attendre ?
Ma réponse :
- Proportion : 23,9%
- Intervalle : [0,201;0,277]
Je ne sais pas si c'est conforme à ce que l'on doit attendre ...
Une autre enquête faite dans une autre ville sur 3600 personnes révèle 792 personnes obèses.
Doit-on considérer, au seuil de 95%, que cet échantillon est conforme à ce que l'on peut attendre ?
Ma réponse :
- Proportion : 22%
- intervalle : [0,21;0,23]
Je ne sais pas si c'est conforme à ce que l'on doit attendre ...
Pourriez-vous éclairer ma lanterne ?
A l'avance, je vous remercie.
A bientôt.
Bonjour,
Tout d'abord, tu devrais ajouter tes calculs a chaque fois, pour verification (autant tout verifier 
)
Ensuite, quand on te demande si l'echantillon est conforme aux attentes, on ne te demande pas de recalculer un intervalle mais de verifier si la proportion appartient bien a l'intervalle que tu as déterminé avant
Bonjour Plocuty,
Je ne sais pas comment tu calcules ton intervalle de confiance de la proportion estimée à 0,201 ; "l'approximation normale", parfaitement justifiée ici vu l'effectif de l'échantillon et la valeur de la proportion estimée, me conduit à [0,197 , 0,205] , et l'application stricte de la loi binomiale ne conduirait sûrement pas à un intervalle différent, avec trois décimales.
Je confirme en outre la deuxième phrase de Barbaros dans son message de 21H27 .
Bonjour Borneo,
Ta question m'a rappelé quelque chose : voir sujet356008
Echantillonnage (estimation d'une proportion) ; et, du coup, j'ai la réponse à ma propre question ci-dessus !
Bonjour à tous,
Je vais essayer de vous répondre ... en allant à l'essentiel et en me corrigeant !
@Borneo
C'est dans quel pays, qu'on voit les intervalles de confiance en seconde ?
Il semblerait que ce soit en France ... (Cours du CNED)
@Barbaros
Tout d'abord, tu devrais ajouter tes calculs a chaque fois, pour verification (autant tout verifier )... on ne te demande pas de recalculer un intervalle mais de verifier si la proportion appartient bien a l'intervalle que tu as déterminé avant
1/ a) 8040/40000=0,201
b)J'applique "bêtement" (mode humour - cf sujet356008 [https://www.ilemaths.net/sujet-echantillonnage-estimation-d-une-proportion-356008.html] )la formule suivante : \Large{[p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}]} (réponse pour Pierre_D)
J'obtiens donc : [0,196;0,206]
2/ 2080/10000=0,208
Comme 0,208 n'est pas dans l'intervalle [0,196;0,206] , le résultat de cette enquête n'est donc pas compatible.
3/ - Intervalle retenue : [0,198;0,206]
- Le centre de cet intervalle est donc : 0,202 soit 20,2%
4/ 162/676=0,239
Comme 0,239 n'est pas dans l'intervalle [0,198;0,206] , le résultat de cette enquête n'est donc pas compatible.
5/ 792/3600=0,22
Comme 0,22 n'est pas dans l'intervalle [0,198;0,206] , le résultat de cette enquête n'est donc pas compatible.
Merci de votre aide !
Qu'en pensez-vous ?
Ok d'accord. C'est la 1e fois que je vois un exercice d'intervalles de confiance en seconde, j'ai cru à une erreur de niveau.
1/ a) 8040/40000=0,201
b)J'applique "bêtement" (mode humour - cf sujet356008 [https://www.ilemaths.net/sujet-echantillonnage-estimation-d-une-proportion-356008.html] )la formule suivante : \Large{[p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}]} (réponse pour Pierre_D)
J'obtiens donc : [0,196;0,206]
la formule est :
(les balises manquaient)
on peut aussi écrire :
[p - 1/Vn, p + 1/Vn] ce qui donne une formule "recopiable"
Bonjour Plocuty,
Je réponds à tes propositions :
a) sur les résultats chiffrés, je suis en gros d'accord,
- avec un bémol sur la question 4), où on trouve en fait : 0,240 et [0,201 , 0,278] en faisant attention à la précision et en arrondissant proprement
- avec un désaccord sur la question 5, où on trouve bien 0,220 comme estimation de la moyenne mais [0,203 , 0,237] comme intervalle de confiance.
b) en ce qui concerne la "compatibilité" et la "conformité", tu aurais intérêt à vérifier dans ton cours ce que ça veut dire exactement pour ceux qui ont posé le problème ; je te donne ici mon avis :
- je commence par la "conformité" ; un échantillon fournit une proportion estimée p et un intervale de confiance (au niveau 95% par exemple) [p1 , p2] pour cette proportion ; on dira que cet échantillon est conforme (au niveau 95%) à une valeur donnée p0 de la proportion si p0 est bien dans l'intervalle de confiance [p1 , p2] de l'échantillon ; ici p0=0,202 est la valeur donnée par la question 3) ("considérée comme la proportion réelle de personnes obèses dans la population totale des Etats-Unis"), et je répondrais donc :
- l'échantillon de la question 4), qui fournit un intervalle de confiance [0,201 , 0,278], est conforme à la valeur p0=0,202
- l'échantillon de la question 5), qui fournit un intervalle de confiance [0,203 , 0,237], n'est pas conforme à la valeur p0=0,202
- en ce qui concerne la "compatibilité" de deux estimations fournies par deux échantillons indépendants, je ne crois pas que tu aies les moyens de répondre vraiment : tu peux dire à la question 2) que les deux estimations semblent compatibles car leurs intervalles de confiance (au niveau 95%) se recoupent.
(Note que tout cela contredit mon premier message : en fait, je ne confirme pas totalement les termes du premier message de Barbaros).
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