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Posté par
alexandrec
13-05-11 à 14:05

Bonjour, j'ai cet exercice a faire et je n'y arrive pas du tout, pouvez-vous m'aidez s'il vous plait.

Ex : On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B .
Chaque mois, 20% de fourmis de la population A passent en B et 30% des fourmis de la population B passent en A.
On notera un et vn le nombre total de milliers de fourmis le mois n, respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est u0= 230 milliers de fourmis et v0= 180 milliers de fourmis

1) Montrer que, pour tout entier n on a :
v n+1 = 1/5 un + 7/10 vn
u n+1 = 4/5 un + 3/10 vn

2) On pose : Rn= un + vn et Tn = -2un + 3 vn avec n
  a)Montrer que la suite Rn est une suite constante et donne la valeur de cette constante.
  b)Montrer que la suite Tn est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
  c)En déduire une expression de un et de vn en fonction de n


Merci beaucoup

Posté par
Camélia Correcteur
re : suite 13-05-11 à 14:16

Bonjour

Au mois n, il y a u_n illiers de fourmis en A et v_n en B.

Dans B arrivent 20% des fourmis de A, c'est-à-dire u_n/5 et il en part 30% de celles de B, donc il en reste 7v_n/10

Et voilà pourquoi v_{n+1}=u_n/5+7v_n/10!

Tu continues?

Posté par
alexandrec
re : suite 13-05-11 à 18:59

Je ne comprends pas

Posté par
plumemeteore
re : suite 13-05-11 à 21:49

Bonjour Alexandre et Camélia.

1) La population v(n) de B se modifie comme suit :
comme 3/10 s'en vont vers A, il y en a 7/10 qui restent : (7/10)v(n)
en contrepartie, elle reçoit 20% ou 1/5 de la population A u(n) : (1/5)u(n).
Le total de sa population l'année suivante s'élève donc à (7/10)v(n) + (1/5)u(n).
Même raisonnement pour la population u de A.
Pour alléger l'écriture :
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)

2a) Aucune fourmi ne sort de l'ensemble formé par A et B et aucune n'y entre. La population totale r(n) est donc constante. Il faut le démontrer formellement.
v(n) = r(n)-u(n)
u(n+1) = 0.8u(n) + 0.3v(n)
= 0.8u(n) + 0.3)(r(n)-(un))
= 0.3u(n) + 0.3r(n) - 0.3u(n)
= 0.5u(n) + 0.3r(n)
------
v(n+1) = 0.7v(n) + 0.2u(n)
= 0.7(r(n)-u(n)) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.7u(n) + 0.2u(n)
= 0.7r(n) - 0.5u(n)
------
en additionnant les deux résultats (somme = r(n+1)), on retrouve r(n)

2b) -2u(n+1) = -2(0.8u(n)+0.3v(n))
3v(n+1) = 3(0.7v(n)+(0.2u(n))
en additionnant après développement : t(n+1) = -1u(n) + 1;5v(n)
t(n+1) est donc 2 fois plus grand que t(n)
le premier terme u(0) est (-2 * 230 millions) + (3 * 180 millions)

3) On a un système de deux équations :
u(n)+v(n) = r(n) = 410 millions
-2u(n)+3v(n) = 80 millions / 2n

Posté par
alexandrec
re : suite 15-05-11 à 21:34

Merci beaucoup mais pour rediger entierement comment je fais ?
Je ne vois pas du tout

Posté par
alexandrec
Evolution fourmilieres 15-09-11 à 10:04

Bonjour a tous . Exercice a faire mais je n'y arrive pas . Pouvez-vous m'aidez ?

Exercice : On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B . Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent dans la fourmilière B et 30% des fourmis de la population B passent dans la fourmilière A.
On notera Un et Vn le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilieres A et B .
Le nombre initial de fourmis est U0=320 milliers et V0=180 milliers .

1) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

Un+1= 4/5Un +3/10Vn
Vn+1= 1/5Un +7/10Vn

2) On pose Sn = Un+Vn et Tn= -2Un+3Vn pour tout entier naturel n.
   a) Montrer que la suite (Sn) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
   b) Montrer que la suite (Tn), est une suite géometrique dont on donner les elements caracteristiques.

3) En déduire une expression de Un et de Vn en fonction de n.

4) Que vaut lim (1/2)puissance n quand n tend vers + ? Justifier .
En déduire lin un et lim vn. Que peut-on déduire quant a la population de chaque fourmiliere ?


Voilà, merci de m'aide .

*** message déplacé ***

Posté par
lilian57289
re : suite 15-10-21 à 23:13

Bonsoir
Je m'excuse par avance de vous déranger
Je rencontre moi aussi quelques difficultés sur cet exercice
Mon énoncé stipule que u0=230
                                                         v0=180
Les questions 1/2 a.b. ne sont pas un problème et je comprends bien les différentes égalités que l'on obtient.
Mais l'expression de un en fonction de n et de vn en fonction de n et la résolution du système me pose beaucoup de problème 😭😆
Pourriez vous m'aidez svp ?
Merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : suite 16-10-21 à 08:02

Bonjour lilian57289

il faudrait que l'on sache ce que tu as trouvé comme expression pour Rn et pour Tn

Rn = C avec C constante
Tn=T0*q^n quantité que j'appelle B (puisque suite géométrique)

donc tu écris ensuite
un+vn=C
-2un+3vn= B

simple système 2 équations 2 inconnues

tu peux multiplier la 1re ligne par 2
puis ajouter tes deux lignes, et tu trouves vn
ensuite tu en déduis un

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 09:42

Bonjour merci énormément de votre réponse
Le seul problème sur je rencontre étant la valeur de C.
Puisque Rn+1=Rn=Un+Vn
Nous ne connaissons pas la valeur de C
Fait il conjecturer sa limite avec un tableau le tableau de valeur
Et dire que Un=246
                           Vn=164
Et ainsi avoir Rn=410???
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : suite 16-10-21 à 10:44

Bonjour

Pourquoi (R_n)  ? Dans le texte on avait (S_n)

S_n=u_n+v_n=u_0+v_0

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 10:55

Oui excusez moi Sn
Mais pk U0+V0 = Un+Vn??

Posté par
hekla
re : suite 16-10-21 à 11:06

Citation :
) Montrer que la suite (Sn) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 11:08

Ce qu'on démontre dans la question la, c'est que Sn+1=Sn
Nn?
Il faut que je conjecture leur limite avec les donnes du tableau de valeur ?
Et dire que Un=246
                           Vn=164
Et ainsi avoir Sn=410???
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : suite 16-10-21 à 11:12

Si la suite est constante alors S_n=S_0 et S_0 est bien défini par u_0+v_0 soit  230+180

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 11:23

D'accord merci bcp
Grâce à vous j'ai enfin réussi à résoudre mon système
J'obtiens Vn=(80x(0.5)^n)/5+164
Et Un=(80x(0.5)^n)/5+246
Et quand je derive je retombe bien sûr les valeur un et vn conjecturer au préalable par le tableau
Merci bcp pour votre aide
Cependant je ne comprends tjs pas pk Sn peut être égale à U0+ V0
J'ai bien compris que cette dernière était constante mais comment U0 peut être égale à Un??
Cela veut dire qu'à la question 2.a) je dois mettre en avant la valeur de la constante soit 410 dans le cas des valeurs de mon énoncé

Posté par
hekla
re : suite 16-10-21 à 11:29

On n'a jamais dit cela   on n'a pas dit que chaque terme de (u_n )  et chaque terme de (v_n) étaient égaux, on a dit que la somme est constante

exemple 7=6+1=5+2+4+3 la somme est bien constante et chaque terme varie

2 a) la valeur de la constante est bien 410

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 11:33

Merci beaucoup pour votre aide vous m'avez beaucoup aide
Encore mille fois merci
Bonne journée à vous

Posté par
lilian57289
re : suite 16-10-21 à 11:35

Ahaha dsl mais j'ai encore une p'tite question 😭😆
Pour justement la suite constante et la question 2.a
Il fait bien évaluer Sn+1 pour prouver que
Sn+1=Sn
Et après calculer Sn avec u0 et v0 ?
Merci

Posté par
hekla
re : suite 16-10-21 à 11:42

Oui, c'est bien cela. On vous a fait montrer que la suite était constante, c'est-à-dire pour tout  n\  S_{n+1}=S_n et ensuite calculer cette somme en prenant les premiers termes de chaque suite.

Il n'y a vraiment pas de quoi j'ai juste insisté sur le terme « constante »
Bonne journée

Posté par
lilian57289
re : suite 20-10-21 à 18:07

Bonsoir
Dsl de vous redemander mais après avoir déterminer les 2 limites je dois interpréter le résultat obtenu
Lim Vn=164
Lim Un=246
Fait t'il annoncer que la population de la fourmilière B ne dépassera pas les 164 individu et pareil pour la A avec 264 ??
Merci d'avance
Bonne soirée

Posté par
hekla
re : suite 20-10-21 à 18:48

Bonsoir

le nombre de fourmis se stabilisera à environ 246 fourmis tandis que dans la fourmilière B le nombre restera, aux environs de 164

Attention vous avez permuté des chiffres, j'avais trop de fourmis j'ai revu les calculs, désolé pour le retard

Posté par
hekla
re : suite 20-10-21 à 18:53

\dfrac{80}{5}=16  vous auriez pu simplifier

Posté par
lilian57289
re : suite 20-10-21 à 19:37

Merci pour votre réponse
Ou ai je permute des chiffres cependant ??

Posté par
lilian57289
re : suite 20-10-21 à 19:39

Je n'arrive pas à simplifier nn plus
Lorsque je divise pas 5 mon 80 après le résultat change 😭
Merci d'avance

Posté par
lilian57289
re : suite 20-10-21 à 19:43

Dsl j'ai réussi finalement
Mais je voudrai bien savoir où est ce que j'ai permute des valeurs svp
Merci

Posté par
hekla
re : suite 20-10-21 à 19:55

Citation :
pareil pour la A avec 264


Citation :
Vn=(80x(0.5)^n)/5+164


cela donne bien \dfrac{80}{5}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n +164

soit 16\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+164

Posté par
lilian57289
re : suite 20-10-21 à 20:00

Oui merci il s'agit de 246 et non 264
Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : suite 20-10-21 à 20:19

Oui, c'est bien 246, c'est parce que 264+164\not=410 que j'ai repris les calculs

De rien



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