Bonsoir

"Résoudre en utilisant les suites ds  :  
1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5=0 "
C'est la somme de 6 termes d'une suite géométrique de raison (x+1)/x.
D'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique
:

1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5 = ((x+1)/x)^6-1)/((x+1)/x-1)
Or ((x+1)/x)^6-1)/((x+1)/x-1) = 0 est équivalent à
(x+1)/x)^6=1 et (x+1)/x différent de 1.
D'où (x+1)/x = -1 soit x = -1/2.

A vérifier. @+

Je continue.

1) Wn= (1+2+...+n)/n² or 1+2+...+n=n(n+1)/2
Donc Wn=(n+1)/2n.
2) a) Relativement simple en utilisant la dérivée.
b)f(x) = 0 donc f(x)>0 si x>0.
3) Pour tout n, on a donc pour x = a/n²
sin(a/n²)<= a/n² avec a= 1, 2, ..., n
En additionnant membre à membre ces inégalités, on obtient :
Un< =Wn.

@+

Résoudre en utilisant les suites ds  :  
1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5=0

posez u=(x+1)/x   alors 1+u+u²+...+u^5=0

vous savez que

1+u+u²+...+u^5=(1-u^6)/(1-u) ; pour 1-u différent de 0

donc 1+u+u²+...+u^5=0 est équivalent à (1-u^6)=0

ssi u=1 ou u=-1

ssi (x+1)/x=1 ou (x+1)/x=-1

ssi x+1=x ou x+1=-x

ssi x=-1/2



1) Wn=1/n²+2/n²+...+n/n²  =1/n²(1+2+...+n)

vous savez que : 1+2+...+n =n(n+1)/2  

donc Wn= (n+1)/2n

2 a) f(x)=x-sinx  

cette partie étudie en fait laa position relative de la courbe de sin(x)
par rapport à la première bissectrice.

On sait d'autre part que la tangente en 0 de sin(x) est au dessus
de la courbe de sinx pour x>=0. C'est ce que va montrer dans
votre exo.

f'(x)=1-cos(x)>=0  qq soit x

donc f est croissante sur R+

2b) f(0) = 0-sin(0)=0

comme f est croissante donc

x>=0 implique f(O)<=f(x)
          implique 0<=f(x)

donc f(x) est postive sur R+.

3) on qq soit nEN* : Wn>0

donc qq soit nEN*: f(Wn)>0

donc qq soit nEN*: Wn-sin(Wn)>0

donc qq soit nEN*: sin(Wn)<Wn

donc qq soit nEN*: Un<Wn            ; car Un=sin(Wn)

voila pour vos questions posées.

vous pouvez alors conclure de la manière suivante:

Wn= (n+1)/2n  donc lim Wn=1/2

comme Wn est croissante 1/2 est un majorant de Wn

qq soit nEN* Wn<=1/2

donc qq soit nEN* Un<=Wn<=1/2

Un est donc une suite majorée par 1/2.

voila je vous remercie

1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5=0

Peut être pas par la méthode attendue.

Poser (x+1/x) = Y
1 + Y + Y² + Y³ + Y^4 + Y^5 = 0

Y = -1 est solution -> divisons (Y^5 + Y^4 + Y³ + Y² + Y + 1) par (Y
+ 1)
On trouve:
(Y^5 + Y^4 + Y³ + Y² + Y + 1) = (Y+1)(y^4+y²+1)

y^4+y²+1:
en posant y² = t
-> t² + t + 1
le déterminant de t²+t+1 = 0 est négatif, il n'y a donc pas de
solutions réelles à t² + t + 1 et donc il n'y a pas de solution
réelles non plus à y^4+y² + 1 = 0

La seule solution à 1 + Y + Y² + Y³ + Y^4 + Y^5 = 0 est donc Y = -1
(x+1)/x = -1
x + 1 = -x
2x = -1
x = -1/2 est la seule solution réelle à 1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5=0

-----
1)
Wn = (1 + 2 + ... + n)/n²
1 + 2 + ... n est la somme de n termes en progression arithmétique
de raison 1, dont le 1er terme est 1 ->
1 + 2 + ... n  = (n + 1).n/2

-> W(n) = (n + 1).n/(2n²)
W(n) = (n+1)/(2n)
-----
2)a)
f(x) = x - sin(x)
f '(x) = 1 - cos(x)
et comme -1 <= cos(x) <= 1, f '(x) >= 0 et donc f(x) est croissante.
sur R

f(0) = 0
->
f(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[
f(x) = 0 pour x = 0
f(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[
-----
3)
avec x = 1/n²
f(1/n²) = (1/n²) - sin(1/n²)
et f(x) > 0 puisque (1/n²) est dans ]0 ; oo[.
-> (1/n²) - sin(1/n²) > 0
(1/n²) > sin(1/n²)    (1)

avec x = 2/n²
f(2/n²) = (2/n²) - sin(2/n²)
et f(x) > 0 puisque (2/n²) est dans ]0 ; oo[.
-> (2/n²) - sin(3/n²) > 0
(2/n²) > sin(2/n²)    (2)

et ainsi de suite jusque:
avec x = n/n²
f(n/n²) = (n/n²) - sin(n/n²)
et f(x) > 0 puisque (n/n²) est dans ]0 ; oo[.
-> (n/n²) - sin(n/n²) > 0
(n/n²) > sin(n/n²)    (3)

En ajoutant (1) , (2) ... (3) ->
(1/n²) + (2/n²) + ... + (n/n²) > sin(1/n²) + sin(2/n²) + ... + sin(n/n²)
W(n) > U(n)
U(n) < W(n)
-----
Sauf distraction.

merci bocou vous etes tous super

pour la question 3) c'est J-P qui a juste.

bonjour pour 1+(x+1)/x+...+((x+1)/x)^5 moi g fai avec la formule:

a*((1-q)^n/1-q)

avec a=le premier therme
q=la raison
n= le nbre de terme

le problème c que je trouve pa la même réponse donc je n'arrive
pas à résoudre s ke vous pouvez m'expliquer avec le + de détaille
possible

merci

le sujet les suite... me pose des problèmes j'ai expliquer mon
prob a la fin s ke vous pouver aller voir et m'aider merci

** message déplacé **

bonjour

vous avez écrit:

"bonjour pour 1+(x+1)/x+...+((x+1)/x)^5 moi g fai avec la formule:

a*((1-q)^n/1-q)

avec a=le premier therme
q=la raison
n= le nbre de terme
"
'a' n'est pas le premier terme. 'a' est la raison

donc si vous posez a=(x+1)/x alors:

1+(x+1)/x+...+((x+1)/x)^5=1+a+a²+...+a^5

et vous savez d'autre part que:

1+a+a²+...+a^5= (1-a^(n+1))/(1-a)

1-a=1-((x+1)/x )=(x-x-1)/x=-1/x

donc

1+(x+1)/x+...+((x+1)/x)^5=-x(1-(((x+1)/x)^(n+1))
                                                 = x((((x+1)/x)^(n+1))
  -  1)

voila bon courage

Tu écris:
a*((1-q)^n/1-q)

avec a=le premier therme
q=la raison
n= le nbre de terme

Ce n'est pas correct, c'est: a*((1-q^n)/(1-q))


1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5 = 0

Somme de 6 termes en PG de premier terme = 1 et de raison = (x+1)/x
On a donc a = 1 et q = (x+1)/x

-> S = 1.(1- ((x+1)/x)^6) / (1-((x+1)/x)))
S = (1- ((x+1)/x)^6) / (x-x-1)/x)
S = -x.(1- ((x+1)/x)^n)
Comme x = 0 est interdit (car x est au dénominateur dans l'expression
de départ) ->

S = 0 si 1- ((x+1)/x)^n = 0
-> ((x+1)/x)^6 = 1
-> (x+1)/x = +/- 1
-> x + 1 = +/- x

le premier cas x + 1 = x est absurde.
le second cas donne: x + 1 = -x
2x = -1
x = -1/2
----
Même solution que celle trouvée par Watik et par moi dans nos réponses
précédentes.

En espérant avoir bien repéré la question dont tu parles.

Tu écris:
a*((1-q)^n/1-q)

avec a=le premier therme
q=la raison
n= le nbre de terme

Ce n'est pas correct, c'est: a*((1-q^n)/(1-q))


1+[(x+1)/x]+[(x+1)/x]²+...+[(x+1)/x]^5 = 0

Somme de 6 termes en PG de premier terme = 1 et de raison = (x+1)/x
On a donc a = 1 et q = (x+1)/x

-> S = 1.(1- ((x+1)/x)^6) / (1-((x+1)/x)))
S = (1- ((x+1)/x)^6) / (x-x-1)/x)
S = -x.(1- ((x+1)/x)^n)
Comme x = 0 est interdit (car x est au dénominateur dans l'expression
de départ) ->

S = 0 si 1- ((x+1)/x)^n = 0
-> ((x+1)/x)^6 = 1
-> (x+1)/x = +/- 1
-> x + 1 = +/- x

le premier cas x + 1 = x est absurde.
le second cas donne: x + 1 = -x
2x = -1
x = -1/2
----
Même solution que celle trouvée par Watik et par moi dans nos réponses
précédentes.

oui ok, merci à vous !!