Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suite
coucou voila mon problème:
soient la suite U définie sur 
par U(indice 0)=3 et 
n 
,U(indice n+1)=(1/4)U(indice
n)+3
et la suite W définie sur par W(indice n)= U(indice n)-4
1.Montrer que W est géométrique. Préciser sa raison et son 1er terme
2.Donner l'expression de W(indice n), puis de U(indice n)en fonction
de n
3.Etudier le sens de variation de la suite U
4.Cette suite est-elle majoré?minoré?
5.Etudier sa limite
6.On pose S(indice n)= U(indice 0)+U(indice1)+...+U(indice n)
a.Calculer S(indice n) en fonction de n
b.Quelle est la limite de la suite (Sn)
MERCI de m'aider avec le + de détail possible
Alors tu nous dit :
U<sub>0</sub> = 3
U<sub>n+1</sub> = (1/4)×U<sub>n</sub>+3
W<sub>n</sub> = U<sub>n</sub> -4 soit
W<sub>n+1</sub> = U<sub>n+1</sub> - 4
W<sub>n+1</sub> = (1/4)×U<sub>n</sub>+3 - 4
W<sub>n+1</sub> = (1/4)×U<sub>n</sub> - 1
Ghostux
Bonsoir,
Pour compléter la réponse de Ghostux, il suffit ensuite de factoriser
1/4.
W(n+1)=(1/4)(Un-4)=(1/4)Wn
La suite W est géométrique de raison 1/4 et de premier terme W0=U0-4=3-4=-1.
@+
Je continue :
Wn+1 = (1/4)×Un - 1 = 1/4 ( Un - 4 ) = 1/4 Wn.
A toi de poursuivre...
PL
2.Pour une suite géométrique, on peut exprimer chaque terme en fonction
de n avec la formule Wn=W0*q^n ou q est la raison.
Wn= -(1/4)^n
Donc Un=Wn+4=4-(1/4)^n.
3.Pour étudier le sens de variation de la suite U, on étudie le signe de
U(n+1)-Un = (1/4)^n(-1/4+1)=(3/4)(1/4)^n>0 donc U est croissante.
4.Un<4 donc Un est majorée par 4.
5.La limite de (1/4)^n quand n tend vers + l'infini est 0 donc Un
a pour limite 4.
6.
a.Sn=W0+4+W1+4+...+Wn+4.
Or W est un suite géométrique donc la somme des termes consécutifs est
donnée par la formule (a-bq)/(1-q) avec a le premier terme et b le
dernier.
Donc on peut en déduire W0 + ... + Wn. Je te laisse le faire.
Donc Sn=(W0 + ... + Wn)+4n
b.lim (Sn) = +infini (à vérifier...)
Bon courage. Essaye de bien comprendre chaque étape car cet exercice
est très classique.
@+
1)
U(n+1) = (1/4).U(n) + 3
W(n) = U(n) - 4
W(n+1) = U(n+1) - 4
W(n+1) = (1/4).U(n) + 3 - 4
W(n+1) = (1/4).U(n) - 1
W(n+1) = (1/4).[U(n) - 4]
W(n+1) = (1/4).W(n)
Et donc Wn est géométrique de raison = 1/4
Son premier terme est: W(0) = U(0) - 4 = 3 - 4 = -1.
---
2)
W(n) = - (1/4)^n
U(n) = W(n) + 4
U(n) = 4 - (1/4)^n
---
3)
(1/4)n diminue si n augmente ->
U(n) est croissante.
---
4)
U(0) = 3
lim(n->oo) U(n) = 4 - 0 = 4
Donc la suite est minorée par 3 et majorée par 4
---
5)
lim(n->oo) U(n) = 4 - 0 = 4
---
6)
a)
S(n) = (4 - (1/4)^0) + (4 - (1/4)^1) + (4 - (1/4)^2) + ... (4 - (1/4)^n)
S(n) = 4.(n+1) - [(1/4)^0 + (1/4)^1 + (1/4)^2 + ... + (1/4)^n)
avec la somme de n+1 termes en progression géométrique de raison = 1/4
et de premier terme = (1/4)^0 = 1
[(1/4)^0 + (1/4)^1 + (1/4)^2 + ... + (1/4)^n)] = [(1/4)^(n+1) - 1]/((1/4)
- 1)
[(1/4)^0 + (1/4)^1 + (1/4)^2 + ... + (1/4)^n)] = (4/3).(1 - (1/4)^(n+1))
S(n) = 4.(n+1) - (4/3).(1 - (1/4)^(n+1))
b)
lim(n->oo) Sn = oo - (4/3) = oo
-----
Sauf distraction
Annuler
connectez vous