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Posté par
Laurznt
05-03-21 à 19:41

Bonjour, je suis le père d une jeune lycéen de 1er et j ai besoin d aide à la resolutio  d un exercice d une suite.
La suite (𝑢) est définie pour tout 𝑛 de 𝑁
∗ par :
𝑢𝑛 = ∑ de n à k=1 pour 1/n+k
Calculer u1, u2, u3 puis déterminer u100

Merci de l aide à la résolution

Posté par
co11
re : Suite 05-03-21 à 19:58

Bonsoir,
j'ai du mal à comprendre cette ligne :

Citation :
𝑢𝑛 = ∑ de n à k=1 pour 1/n+k

est-ce la somme de termes 1/(n+k) pour k variant de 1 jusqu'à n  ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 05-03-21 à 20:01

Bonjour,

\sum_{k=1}^n se lit "somme pour k de 1 à n" et pas le contraire.

1/n+k veut dire \dfrac{1}{n}+k ce qui est un peu bête

est ce cela ? ou \dfrac{1}{n+k} qui s'écrit 1/(n+k) parenthèses ajoutées obligatoires quand on écrit "en ligne"

le calcul de u1, u2 et u3 est un simple calcul numérique avec des fractions .

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 05-03-21 à 20:03

bonjour co11, je te laisse poursuivre.

Posté par
Laurznt
re : Suite 05-03-21 à 20:05

Oui il s agit bien de la somme  de 1/(n+k)=1/(n+1)+ 1/(n+2).....+1/(n+n)

Posté par
Laurznt
re : Suite 05-03-21 à 20:09

Merci pour votre réponse mais je ne sais pas comment corriger cette exercice car je ne sais pas le résoudre. Pourriez-vous m aider la résolution de cela ?

Posté par
Laurznt
re : Suite 05-03-21 à 20:32

Si j écris...
u1=1/(1+1)=1/2
u2=1/(2+1)=1/3
u3=1/(3+1)=1/4
Et donc u100=1/(100+1)=1/101
Cela est juste ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 05-03-21 à 21:13

u2 = 1/(2+1) + 1/(2+2)
k = 1 à 2, somme de deux fractions

d'ailleurs tu avais bien écrit correctement :
(un =) 1/(n+1)+ 1/(n+2).....+1/(n+n)
somme de n fractions

et pareil pour la suite :
u100 = 1/(100+1) + 1/(100+2) + ... + 1/(100+100)
somme de 100 fractions

je suppose qu'on va demander une valeur approchée !!
ou un encadrement
voire même un programme pour la calculer...

Posté par
Laurznt
re : Suite 05-03-21 à 21:31

Merci pour votre aide.
Non il n y a pas d autres question dans l exercice. Ok j ai compris merci beaucoup de votre aide

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 05-03-21 à 21:42

je n'ai jamais dit qu'il s'agissait d'autres questions, mais de la même : "calculer" U100 ...
bon courage :
en fractions exactes irréductibles, le numérateur et le dénominateur ont chacun 88 chiffres !

Posté par
Laurznt
re : Suite 05-03-21 à 21:58

Pour u100 n est il pas possible d écrire la première expression de la suite et la dernière ?
Et justement la dernière expression correspondrait à quoi ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 05-03-21 à 22:24

???

qu'as tu trouvé après correction pour u2 et u3 ?

et si tu essayais déja u4 et u5 avant de passer à u100 ?
histoire de voir où ça mène...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite 07-03-21 à 11:29

pas de réaction ...
pfff.

petit calcul intéressant pour éviter de tout recalculer à chaque fois :
calculer Un+1 - Un et le simplifier

alors pour passer de Un à Un+1 il y a juste à ajouter une seule fraction (certes un peu plus compliquée) au lieu de recommencer une addition de n+1 fractions.
et donc c'est à la portée d'un tableur de faire facilement les calculs de tous les Un successifs jusqu'à n = 100 (en valeurs approchées décimale bien sûr !)
il suffit de "tirer" la formule de récurrence obtenue vers le bas sur 100 lignes.

hors niveau et largement : (post bac)
Un ln(2) - 1/(4n) +1/(16n²) - ...
si on s'arrête là dans ce développement on obtient U100 à 1/160000 près

et cela prouve que Un est convergente vers ln(2) 0.6931471805599453...
(mais ça converge très lentement ...)



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