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Posté par cécéstyle (invité) 15-03-04 à 19:10

On veut calculer la somme Sn=1²+2²+3²+...+n²
1) montrer l'égalité (Ek): (k+1)^3-k^3=3k²+3k+1
2) en ajoutant membre à membre les n égalités (Ek) pour k entier variant
de 1à n, montrer que:
Sn=[n(n+1)(2n+1)]/6
3) exprimer la somme Tn=2²+4²+6²+...+(2n)² en fonction de n.
4) calculer les sommes S= 1²+2²+3²+...+100² et T= 2²+4²+6²+...+200².

merci d'avance

Posté par
watik
re : suite 16-03-04 à 10:35

bonjour

votre exo a été traité plusieurs fois auparavant.

Posté par
Océane Webmaster
re : suite 16-03-04 à 10:39

Bonjour

Exact Watik !
Cécéstyle, tu devrrais trouver de l'aide
ici

Bon courage

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite 16-03-04 à 11:01

1)
(k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1
(k+1)³ - k³ = 3k² + 3k + 1
-----
2)

E1: 2³ - 1³ = 3.1² + 3*1 + 1
E2: 3³ - 2³ = 3.2² + 3*2 + 1
E3: 4³ - 3³ = 3.3² + 3*3 + 1
E4: 5³ - 4³ = 3.4² + 3*4 + 1
...
En: (n+1)³ - n³ = 3.n² + 3.n + 1

En ajoutant ces lignes ->

2³ - 1³ + 3³ - 2³ + 4³ - 3³ + 5³ - 4³ + ... + (n+1)³ - n³ = 3.1² + 3*1
+ 1 + 3.2² + 3*2 + 1 +  3.3² + 3*3 + 1 +  3.4² + 3*4 + 1 + ... +
  3.n³ + 3.n + 1

Presque tous les termes se simplifient dans le membre de gauche ->
-1³ + (n+1)³ =  3.1² + 3*1 + 1 + 3.2² + 3*2 + 1 +  3.3² + 3*3 + 1 +
3.4² + 3*4 + 1 + ... +  3.n² + 3.n + 1
-1 + n³ + 3n² + 3n + 1  = 3.(1²+2²+3²+...+n²) + 3(1+2+3+...+n) + (1
+ 1 + 1 + ...+ 1)
n³ + 3n² + 3n = 3.(1²+2²+3²+...+n²) + 3(1+2+3+...+n) + n

Or 1+2+3+...+n = n(n+1)/2  (somme de n termes en progression arithmétique
de raison 1 et de premier termes = 1)
->

n³ + 3n² + 3n = 3.(1²+2²+3²+...+n²) + 3n(n+1)/2  + n
n³ + 3n² + 3n = 3.Sn + 3n(n+1)/2  + n

3.Sn = n³ + 3n² + 2n - (3n(n+1)/2)
3.Sn = (2n³ + 6n² + 4n - (3n(n+1))]/2

3.Sn = [2n(n²+3n+2) - (3n(n+1))]/2
3.Sn = [2n(n+1)(n+2) - (3n(n+1))]/2

Sn = n(n+1)(2n+4-3)/6
Sn = n(n+1)(2n+1)/6
-----
3)
Recommencer des calculs analogues avec k = 2.m   et m dans N*+
...
-----
4)
S = 100*101*201/6 = 338350
T en fonction des calculs menés dans le point 3.
-----
Sauf distraction.  



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