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Suite arithmétique

Posté par
Abde824
07-07-21 à 16:55

Bonjour à tous et j'espère que vous allez bien, j'aurai besoin de votre aide pour cet exercice. Je n'arrive pas à comprendre.

Soit (Un) une suite définie par u0 = 1 et Un+1= 2Un/(3+2Un).
1) Calculer les cinq premiers termes de la suite.
2) La suite (Un) est-elle arithmétique ?
3) On suppose que pour tout entier naturel n, un ≠ 0 et on définit la suite (Vn)=1/Un.
a) Montrer que la suite (Vn) est arithmétique et donner ces éléments caractéristiques.
b) Donner l'expression de Vn en fonction de n.
c) En déduire l'expression de Un en fonction de n.
4) Étudier la monotonie de la suite (Un).
5) Montrer que pour tout entier naturel n, 0<n<= 1.
Voilà ce que je n'arrive pas à comprendre, j'en ai fait quelques-uns mais j'aimerai pouvoir les corriger avec quelqu'un. Du coup je vous remercie d'avance pour l'aide que vous m'apporterez.

Posté par
ty59847
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 16:58

Je ne fais que passer, je ne vais pas pouvoir suivre ce sujet, mais là, il faut que tu dises ce que tu as fait.

Normalement tu sais faire les questions 1 et 2 au moins.
Tu trouves quoi pour ces 2 questions ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 16:58

Bonjour,
Qu'as-tu trouvé aux premières questions ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 16:59

Bonjour ty59847

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:16

Bah la question 1)
U1=2u0/(3+2u0)=2×1/(3+2×1)=2/5
U2=2u1/(3+2u1)=2×(2/5)/(3+2×(2/5))=4/19
U3=2u2/(3+2u2)=2×(4/19)/(3+2×(4/19))=8/65
U4=2u3/(3+2u3)=2×(8/65)/(3+2×(8/65))=16/211.
U5=2u4/(3+2u4)=2×(16/211)/(3+2×(16/211))=32/665.

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:19

Et pour la 2)
Cette suite n'est pas arithmétique car pour passer de 2/5 à 4/19 il faut additionner par (-18/95)
Et pour passer de 4/19 à 8/65 il faut additionner par (-108/1235).
Dites moi si ces résultats sont bons car ils me perturbent.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:48

1) est bon.
Pour 2), il est plus simple et plus clair de parler des différences
u1 - u0 \; et \; u2 - u1 .
Mais tu as compris.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:49

Pourquoi ces résultats te perturbent-ils ?

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:51

Bah comme c'est de gros nombres qui apparaissent dans mes calculs ça me perturbaient mais là je suis rassuré.

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 17:59

Dites-moi s'il vous plaît, pour la 3) a) je dois faire avec Vn+1-Vn c'est ça.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 18:46

Il y a un problème dans l'énoncé, car si tu calcules les différences
v1 - v0 \; et \; v2 - v1 ,
on ne trouve pas la même chose.

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 18:52

V1ou U1 ?

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 18:53

Je n'ai pas compris pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 19:14

Tu as calculé u1 et u2, et tu sais que u0 = 1.
Avec vn = 1/un, on trouve
v0 =1
v1 = 5/2
v2 = 19/14

Et v2-v1 n'est pas égal à v1-v0.
Ce qui est gênant pour une suite qui est censée être arithmétique...

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 19:36

Du coup c'est l'énoncé qui a un problème car il est exactement comme je l'ai écrit.

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 19:37

Je les avais déjà fait et j'ai eu le même résultat.

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 19:42

Je pense que ça aurait du être 2Un/(2+3Un) au lieu de 2Un/(3+2Un). C'est l'énoncé qui a un problème, vous ne pensez pas ?

Posté par
hekla
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 20:19

Bonsoir

En l'absence de Sylvieg

Oui, il  y a  un problème

 v_{n+1}-v_n=\dfrac{3+2u_n}{2u_n}-\dfrac{2}{2u_n}= \dfrac{1+2u_n}{2u_n}

Par conséquent,  la différence est non constante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 20:42

Citation :
Je pense que ça aurait du être 2Un/(2+3Un) au lieu de 2Un/(3+2Un). C'est l'énoncé qui a un problème, vous ne pensez pas ?
Oui

Attention hekla,
Si la suite un est constante, alors la différence l'est.
par exemple, avec u0 = -1/2 au lieu de 1

Posté par
hekla
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 20:59

Je ne comprends pas trop ;  le calcul des premiers termes montrait bien que la suite (u_n) n'était pas constante,
or la différence de deux termes consécutifs  dépendant de u_n ne peut être constante et par suite la suite ne peut être arithmétique

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 21:34

Bon, on est d'accord qu'il y a une erreur dans l'énoncé.
D'où vient-il Abde824 ?

Posté par
ty59847
re : Suite arithmétique 07-07-21 à 23:31

hekla, je pense qu'il faut laisser abde824 chercher cet exercice, là, tu es perdu et tu risques de l'entrainer avec toi dans des trucs bizarres.

A la question 5, il y a à nouveau une erreur dans l'énoncé.  Je pense qu'il s'agit de montrer que 0<Un <= 1

Posté par
hekla
re : Suite arithmétique 08-07-21 à 09:43

À ty59847  je ne suis absolument pas perdu

J'approuvais qu'il y avait bien une erreur dans le texte puisqu'avec cet énoncé on ne pouvait montrer que la suite est arithmétique

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 08-07-21 à 14:07

Du coup que dois-je faire s'il vous plaît ?

Posté par
Leile
re : Suite arithmétique 08-07-21 à 15:21

bonjour,

perso, je rectifierais l'énoncé comme tu l'as dit :

Abde824 @ 07-07-2021 à 19:42

Je pense que ça aurait du être 2Un/(2+3Un) au lieu de 2Un/(3+2Un). C'est l'énoncé qui a un problème, vous ne pensez pas ?

Posté par
hekla
re : Suite arithmétique 08-07-21 à 15:29

Bonjour


en gardant le même texte on peut montrer que u_n=\dfrac{2^n}{3^{n+1}-2^{n+1}}

sinon, demander une vérification du texte ou prendre le texte rectifié proposé

Posté par
Abde824
re : Suite arithmétique 09-07-21 à 17:22

Excusez moi d'avoir été absent, je pense que je vais rectifier.



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