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Suite arithmétique, géométrique

Posté par
Stracth47
10-02-22 à 20:36

Bonsoir, j'a un ex a faire pendant les vacances le voici : le soir avant de s'endormir Bachir regarder série ou un livre. La probabilité qu'il :
- lis le soir s'il l'a lu la veille est de 0,3
- lise le soir si la regarder des séries la veille est de 0,7
Pour tout entier naturel non nul, on note Ln l'événement "le n-ieme soir, Bachir lit un livre" et on appelle on, la probabilité de cette évènement.
Le premier soir, Bachir a lu un livre de sorte que p=1

1) recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation(image ci-dessous)
2) montrer que Pn+1=-0,4pn+0,
La suite (pn) est-elle arithmétique ou géométrique ?
3)on définit pour tout n appartenant à N la suite (vn) par vn=pn-0,5
Montrer que vn+1=-0,4pn+0,2

Alors je suis totalement perdue pour la 1... En soit faut til montrer que cette suite est arithmétique par rapporte à la relation de pn ? Car cette dernière dépend de Pn donc elle est ni arithmétique ni géométrique ? Mais comment le rédiger ?

La 3 j'avais trouver mais je pense pas que j'ai bon... Car j'ai déterminé l'expression de pn avec celle de pn+1 :
Pn=- 0,4(n-1)+0,7
Pn=-0,4n+0,4+0,7
Donc : vn=-0,4pn+0,4+0,7-0,5
vn=-0,4pn+0,6
On déterminé vn+1 :
Vn+1=-0,4(n+1)+0,6
Vn+1=-0,4n-0,4+0,6
Vn+1=-0,4pn+0,2

Cela me partait bizarre de passer de n à Pn

Merci d'avance

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 10-02-22 à 21:03

bonsoir

calcule les premiers termes de la suite
pour montrer que la suite n'est pas arithmétique, il suffit que tu donnes un contre exemple...
idem pour  montrer que la suite n'est pas géométrique.

montre ton arbre complété, et  ce que tu as fait pour 2)

Pn=- 0,4(n-1)+0,7  n'est pas correct


ps : relis l'énoncé que tu as écrit :
Bachir a lu un livre de sorte que p=1   ---- c'est p0=1 ou p1 = 1  ?
et
2) montrer que pn+1=-0,4pn+0, ?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 09:19

(image ci dessous)
Il faut que je calcul les premiers termes de la suite, en effet mais il faut que je montre pour cela que vn+1=-0,4pn+0,7?

J'ai fais sur ma calculette, et effectivement elle est ni géométrique et arithmétique... Mais il faut que je le démontre ? Et ça je ne sais pas comment ? Ah moin de donner un contre exemple je ne vois pas

Ps: c'est P1=1



Suite arithmétique, géométrique

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 09:34

bonjour Stracth47

énoncé : et on appelle on, ? la probabilité de cette évènement.

pour que ton arbre soit généraliste, i.e. qu'il soit exploitable quelle que soit la valeur de n,
sur la branche Ln, tu dois écrire pn  (et non pas 1)
sur la branche Lnbarre, à la place de 0 , tu dois écrire ...? (quelle probabilité en fonction de pn?)

ainsi corrigé, tu pourras plus facilement répondre à la première partie de la question 2)

2) quelles valeurs trouves-tu pour les premiers termes ?
montre le détail de tes calculs si besoin.

pas arithmétique : comme déjà dit, il suffit de trouver un contre exemple.
par ex : calcule p2 - p1, puis p3 - p2
puis relis la définition d'une suite arithmétique
que peux-tu en conclure ?

je m'absente un peu
si une autre intervenant souhaite prendre le relais...

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:10

Suite arithmétique, géométrique

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:22

-c'est Pn barre normalement
-P1=1
-P2=0,58
P3=0,468
P4=0,5128

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:35

erreur sur p2

tu dois trouver
p1 = 1
p2 = ... montre le détail de ton calcul... = 0.3

==> la probabilité p2 qu'il lise le jour n°2  est la somme des probabilités :
- qu'il ait lu le jour 1 et qu'il lise aussi le jour 2
- qu'il n'ait pas lu le jour 1 et qu'il lise le jour 2

ce que je peux écrire ainsi : p_2 = p(L_1 \cap{} L_{2}) + p(\bar{L_1} \cap{} L_{2})

de la même façon :
p3 = ... montre le détail de ton calcul... = 0.58
p4 = ... montre le détail de ton calcul... = 0.468
p5 = ... montre le détail de ton calcul... = 0.5128

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:45

Stracth47 @ 11-02-2022 à 10:22

-c'est Pn barre normalement

je suppose que ceci répond à ma question :
sur la branche Lnbarre, à la place de 0 , tu dois écrire ...? (quelle probabilité en fonction de pn?)

non;  attention, pn barre n'a pas de sens mathématique.
ne pas confondre :
- un événement (qui est un ensemble), par ex : \bar{L_n} est l'événement contraire de {L_n}

- avec une probabilité (qui est un nombre compris entre 0 et 1) : ici,   p_n = p({L_n})

d'après le cours sur les événements contraires (ou complémentaires)
si   p({L_n}) = p_n , alors  p({L_n}) = ...?

(regarde comment tu as complété les branches secondaires de ton arbre avec les 0.3 ou 0.7...)

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:46

oups, lire :

si   p({L_n}) = p_n , alors  p(\bar{L_n} ) = ...?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 10:54

J'avais écrit sur ma calculatrice la suite et cela m'a donnée ces nombres...
Je crois avoir compris, je vais rédiger le début pour commencer
Pour
P(Ln barre) = Pn ?

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 11:24

Stracth47 @ 11-02-2022 à 10:54

P(Ln barre) = Pn ?

non
cours : soit A un événement de probabilité p
la probabilité de l'événement complémentaire  \bar{A} est : 1 - p
puisque p(A) + p( \bar{A} ) = 1

... tu le sais ! puisque tu l'as déjà utilisé pour calculer les 0.7 et 0.3 de tes branches secondaires

donc
si  pn  est la probabilité de l'événement Ln,
alors la proba de l'événement  \bar{L_n} est  ......?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 11:37

Pn-1

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 11:47

l'opposé, puisqu'une proba est toujours positive ou nulle

p(\bar{L_n}) = 1 - p_n

à placer sur la branche de l'arbre

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 12:30

On sait que P3 =p(L2L3)
+p(L2 barre L3)
Mais on ne connaît pas ces données ?
On a pu calculer P2 par : p(L1L2) +p(L1 barre L2)
=0,3
Si j'utilise pn+1 cela fonctionne ?
Soit p3=-0,4*0,3+0,7
=0,58

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 12:39

+
Pn+1=(0,3*pn)+((1-pn)*0,7)
Pn+1=0,3pn+0,7-0,7pn
Pn+1=-0,4pn+0,7

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 12:56

on sait que p1 = 1  
à l'aide de l'arbre :
p2 = p(L2) =  p(L1L2) +p(L1 barre L2) = 1*0.3 + 0*0.7 = 0,3
et donc p(L2barre)  = 1-0.3 = 0.7

de la même façon,  p3= p(L2L3) +p(L2 barre L3) =   0.3 *0,3 + 0,7 *0.7 =0,58

on peut continuer ainsi, mais on peut déjà calculer
p2 - p1 = 0.3-1 = -0.7  
p3 - p2 = 0.58-0.3 = 0.28   -0.7
on constate que la différence entre 2 termes consécutifs de la suite (pn) n'est pas une constante, quel que soit nN
ce contre exemple suffit à montrer que la suite n'est pas arithmétique (d'après la définition d'une suite arithmétique, cf cours)

pour montrer qu'elle n'est pas géométrique, on peut calculer les rapports :
p2 / p1 = .....
p3 / p2 = .....
et en conclure  ....?

ceci est une méthode pour montrer que  la suite (pn) n'est ni arithmétique ni géométrique sur N.

autre façon, sans doute plus appropriée à l'énoncé :
au début de la question 2) tu as établi (ou tu vas établir...) que, pour tout nN, on a :
                                         pn+1 = -0,4pn + 0.7

==> regarde, dans le cours, la forme récurrente d'une suite arithmétique ?
à quoi la reconnait-on ?
pourquoi  peut-on affirmer que la suite (pn) n'est pas arithmétique ?

regarde, dans le cours, la forme récurrente d'une suite géométrique ?
à quoi la reconnait-on ?
pourquoi  peut-on affirmer que la suite (pn) n'est pas géométrique ?

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 12:57

Stracth47 @ 11-02-2022 à 12:39

+
Pn+1=(0,3*pn)+((1-pn)*0,7)
Pn+1=0,3pn+0,7-0,7pn
Pn+1=-0,4pn+0,7

parfait

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 12:57

je reviens te lire plus tard.

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 13:11

2)
Pour démontrer que vn+1= - 0,4pn+0,2
Il faut remplacer dans l'expression vn=pn-0,5, pn ?
J'avais ainsi dit que pn=-0,4(n-1)+0,7 était incorrect mais pn=-0,4(pn-1)+0,7 c'est correct ?

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 13:30

Stracth47 @ 11-02-2022 à 13:11

pn=-0,4(pn-1)+0,7 c'est correct ?

fais plus simple


3)on définit pour tout n appartenant à N la suite (vn) par vn=pn - 0,5
Montrer que vn+1=-0,4pn+0,2
--- on demande  vn+1


on sait que   vn =  pn - 0,5  
donc  vn+1 =  pn+1 - 0,5  

or, en 2), on a établi que   pn+1 = -0,4pn + 0.7
donc  
vn+1 =  ..remplace.... - 0,5  

remplace,  puis réduis : tu dois retrouver l'énoncé de la question

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 13:40

Très bien merci pour votre aide, il me reste cependant d'autres questions mais je pense pouvoir les réussir par moi même. Cependant, s'il j'ai un blocage je peux reposter ici ?

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 11-02-22 à 13:50

bien sur, n'hésite pas.

tu recopieras les autres questions et ta réponse, ici à la suite.

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 12-02-22 à 12:57

OK,
Je bloque sur une partie de l'exercice, voici les questions précédentes :
B) exprimez pn en fonction de vn
Pn=vn+0,5
C en déduire que vn+1=-0,4vn
Vn+1=-0 4(vn+0,5)+0,2
Vn+1=-0,4vn

Et he bloque sur donner la nature de la suite,
J'ai essay de faire vn+1/vn
Donc avec vn+1=-0,4pn+0,2 et vn=pn-0,5
Cela me donne
Vn+1/vn=-0,4pn+0,2/pn-0,5
Et je bloque ici :/

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 12-02-22 à 13:16

3b) exprimez pn en fonction de vn
pn=vn+0,5      exact

3c) en déduire que vn+1=-0,4vn     exact

la nature de la suite :
la suite est de la forme (récurrente)  :       vn+1 =  un_nombre  *   vn

regarde dans le cours, parmi les suites connues...

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 12-02-22 à 14:04

C'est géométrique vu qu'il y'a un signe multiplié ? Je pensais qu'il fallait faire des calculs pour le démontrer...
Donc la raison est de-0,4

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 12-02-22 à 14:37

tu as une forme vn+1 = q * vn
cela suffit pour en  déduire  que la suite est géométrique (par définition d'une suite géométrique).

pour bien l'identifier, tu dois préciser :
- la raison :   ici  q = -0.4  exact
- ET son premier terme qui est  ...?

puis tu peux (cf cours) donner l'expression de son terme général
(peut-être est-ce la question suivante ?)

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 09:16

On ne connaît pas la terme u1, c'est ça qui me dérange un peux pour trouver u0.
Et exacte, la prochaine question est d'exprimer pn et vn en fontion de n

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 11:55

bonjour Stracth47

2 précisions :
- le premier terme d'une suite n'est pas obligatoirement indicé 0.
regarde par exemple la suite (pn) :
son 1er terme est p1=1 (d'où ma question de  10-02-22 à 21:03, souviens-toi)

- pour trouver le 1er terme de la suite  (vn) ,
tu vas utiliser la relation de l'énoncé qui définit cette suite, à savoir : vn = pn - 0,5

le 1er terme de la suite (pn)  est indicé 1
donc....

ok ?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 12:30

v1=0,5 donc, et comme q=-0,4 alors v0=0,5+0,4=0,9.
Puisuqe v1=p1-0,5
V1=1-0,5
V1=0,5

e) exprimer vn et on en fonction de n
On a vn=u0-0,4puissnace n
Ou uo=0,9
Pn=vn+0,5
Donc pn=vo+0,5n
?

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 12:43

v1=p1-0,5
V1=1-0,5
v1=0,5   ----- oui

donc, et comme q=-0,4 alors v0=0,5+0,4=0,9.   ---  
on est sur suite une géométrique, là.
... et relis mon message précédent..


e) totalement farfelu (tu t'es lâché ^^)

... étudie tranquillou ton cours sur les suites géométriques avant de faire cette question c)
si besoin : Tout ce qui concerne les suites géométriques

puis reviens faire une proposition sérieuse.

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 12:49

Je le suis précipité effectivement effectivement...
Donc vo=0,5/(-0,4)
Vo=-1,25
Donc vn=vo*q puissance n
Vn=-1,25(-0,4) puissance n

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 13:40

carita @ 14-02-2022 à 11:55

... le premier terme d'une suite n'est pas obligatoirement indicé 0.


v0 n'existe pas puisque p0 n'existe pas

le terme général est donc à corriger (mais attention à l'exposant ! regarde la formule générale dans le cours)

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 13:52

Dans ces cas l'as on peut dire que Vn=v1*q puissance nais dans mon cours il y'a écrit sous la forme explicite : un=uo*q puissance n

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 14:16

cours :   terme général d'une suite géométrique :    un = up qn-p

en particulier :

-  lorsque le 1er terme est indicé 0  :   un = u0 qn
-  lorsque le 1er terme est indicé 1  :   un = u1 qn-1

ceci est à savoir par coeur.
(fais toi une petite fiche récap' pour toutes ces formules essentielles)

mis en application ici:   vn = v1 qn-1 = ....?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 14:23

D'accord merci, mais en soit si on connaît vo on aurait utiliser vn=vo*qn ?
Pour la suite pn désormais, on sait que celui-ci n'était ni géométrique ni arithmétique, mais vn est géométrique...
Donc on peut peut être écrire
Pn=v1*q(n-1)+0,5 n ?
Puisque vn=v1*q(n-1)

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 14:29

mais en soit si on connaît vo on aurait utiliser vn=vo*qn ?   
bien sur, si v0 avait été le 1er terme.
ce qui n'est pas le cas dans le cadre de l'exercice.
selon les énoncés, tu dois adapter la formule générale.

pour la suite, progresse dans l'ordre :
vn=v1*q(n-1)  ---- puissance n-1
soit
vn = .......?  

puis
Pn=v1*q(n-1)+0,5 n    d'où provient ce n ?
explique

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 14:39

Je ne sais pas, en faite on ajoute à chaque terme +0,5 a vn je me suis dis que il faut peut être mettre un mais non.
2:
Soit vn=0,5*(-0,4)puissance (n-1)

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 14:48

en faite on ajoute à chaque terme +0,5 a vn je me suis dis que il faut peut être mettre un mais non.   
  
une chance sur deux... perdu (j'ai bien ri!)

allez, on termine  :
vn en fonction de n :      vn=0,5 *(-0,4)^(n-1)     

or (énoncé)    vn=pn-0,5
donc   pn = vn + 0,5
d'où pn en fonction de n :      pn=.....?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 15:03

Pn=(0,5*(-0,4)n-1) +0,5

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 15:14

puissance n-1 !!

sinon, c'est ça.

remarque : ce genre de suite, de la forme un+1 = a*un + b
est une suite appelée  arithmético-géométrique.
et il est fort probable qu'on t'en 'resserve', en DM ou en DS.

donc, à la fin, quand tu as le terme général de la suite,
pense à comparer avec les premiers termes calculés au début :
cela te permet de contrôler si la formule est  correcte (pas d'erreur de signes, etc.).

pn=0,5*  (-0,4)n-1  + 0,5

pour n = 1  :       p1=0,5 * (-0,4)0  + 0,5 = 0.5*(1) + 0.5 = 1   correct
pour n = 2  :       p2=0,5 * (-0,4)1  + 0,5 = 0.5*(-0.4) + 0.5 = 0.3  idem
pour n = 3  :       p3=...?

Posté par
Stracth47
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 15:20

Très bien merci pour m'avoir aidé sur l'ensemble du dm. Il reste cependant une dernière question, que je vais  faire tout seul, car j'aime pas trop demande de l'aide aux dm mais vu mes connaissances et les bêtises que j'ai sortie ...

Posté par
carita
re : Suite arithmétique, géométrique 14-02-22 à 15:23

c'est normal que tu fasses des erreurs, tu es en apprentissage.
l'important c'est la ténacité, et de comprendre pourquoi on se trompe

je soupçonne quelle est la dernière question...
si besoin de validation, n'hésite pas.



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