Bonsoir,
j'ai besoin de l'aide pour une partie de cette exercice, je n'ai aucune idée de comment le résoudre:
On cosidére la suite (un) définie par récurrence par:
u0=0 et u1=1
un+2=un+1+un (1)
1. Calculer u2, u3, u4, u5.
u2=1
u3=2
u4=3
u5=5
2.Soit et
les deux racines de l'équation x²-x-1=0.Donner leurs valeurs.
=(1-
5)/2 et (1+
5)/2
3.Montrer que la suite définie par un=A(exposant n)+B
(exposant n) est solution de (1).
et c'est ici ou je ne sais pas comment y repondre :s
svp si quelqu'un pourrait m'aider.
4.Déterminer A et B a l'aide des premiers termes, pui sne déduire la valeur de u20 et de u40.
Merci d'avance
Bonjour,
Tu as un = An + B
n qui est solution de (1) si un+2 = un+1 + un,
c'est à dire si un+2 - un+1 - un = 0
Fais ce calcul en te souvenant que et
sont des solutions de x²-x-1=0
Pour la 4), tu calcules u0 et u1 et tu obtiendras deux relations avec A et B dont la résolution te donneront A et B.
Après pour calculer u20 et u40, tu utilises la formule directe de un (utilise une calculatrice).
désolé je n'ai pas compris comment faire pour le 3.:S
ce que je dois démontrer c'est que la suite définie par un =A(exposant n) +B
(exposant n) est solution de un+2= un+1 + un.
Donc si je calcule un+2-un+1-un=0
un +2un-(un+un)-un=0
et voila ici je me suis embrouillé je sais pas je pense que c'est faux
En effet, tu pars de la fin
L'objectif c'est de montrer que un = An + B
n est solution de l'équation
un+2 = un+1 + un (ce qui est équivalent à l'équation un+2 - un+1 - un = 0, tu es d'accord?)
Seulement tu ne le sais pas encore, tu dois le montrer, donc lorsque tu calcules un+2 - un+1 - un, tu ne peux pas supposer que ça vaut 0.
Par contre tu peux remplacer un par son expression et faire le calcul à partir de là.
c'est a dire que je fais donc:
un+2=un+1+un
un+2=un+1+(A(exposantn)+B
(exposant n))
un+2=un+1+(A((1-5)/2)exposant n+B(1+
5)/2)exposant n.
puis maintenat...?
Non tu n'as pas besoin d'utiliser les valeurs de et
Par contre tu peux aussi remplacer un+2 et un+1 par leurs expressions en fonctions de et
Ensuite dans le calcul tu ne sais pas que un+2 = un+1 + un (tu dois le montrer)
pour cela, tu calcules un+2 - un+1 - un (et tu montres que ça fait 0)
C'est clair pour toi ?
ok
donc :
je démontre que un+2=un+1+un:
un+2= un+un+un
un+1+un=un +un+un
donc un+2=un+1+un
Apres,
un+2=A(exposant n+2)+B
(exposant n+2)
un+1=A(exposant n+1)+B
(exposant n+1)
Donc:
un+2=un+1+un
=(A(exposant n+2)+B
(exposant n+2))-(A
(exposant n+1)+B
(exposant n+1))-(A
(exposant n)+B
(exposant n)
don c je dois démontrer que ceci est égal a 0 je publie la suite dans quelques kinutes quand je suis arrivé
mais jusqu'a maintenat c'est correct?
Oui c'est ça, tu dois maintenant continuer le calcul en mettant en facteur certains termes, et en utilisant le fait que et
sont solutions de l'équation x² - x - 1 = 0
en suite j'ai factoriser par A(exposant n) puis ensuite par B
(exposant n)
A(exposant n)B
(exposant n)(
²+
²-
-
-1)
est- ce que c'est correct?
Dans l'idée c'est ça, mais le calcul est faux, ça donne plutôt ça:
An(
²-
-1) + B
n(
²-
-1)
C'est clair ?
Je te laisse finir après pour la suite
Eh bien, comme et
sont solutions de x²-x-1=0 ça veut dire que:
²-
-1=0 et
²-
-1=0
Donc les deux termes sont nuls dans la relation trouvée avant
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