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suite de Fibonacci

Posté par
tables
01-05-12 à 04:29

Bonsoir,
j'ai besoin de l'aide pour une partie de cette exercice, je n'ai aucune idée de comment le résoudre:
On cosidére la suite (un) définie par récurrence par:
u0=0 et u1=1
un+2=un+1+un (1)
1. Calculer u2, u3, u4, u5.
u2=1
u3=2
u4=3
u5=5
2.Soit et les deux racines de l'équation x²-x-1=0.Donner leurs valeurs.
=(1-5)/2  et (1+5)/2
3.Montrer que la suite définie par un=A(exposant n)+B(exposant n) est solution de (1).
et c'est ici ou je ne sais pas comment y repondre :s
svp si quelqu'un pourrait m'aider.
4.Déterminer A et B a l'aide des premiers termes, pui sne déduire la valeur de u20 et de u40.
Merci d'avance

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 10:27

Bonjour,

Tu as un = An + Bn qui est solution de (1) si un+2 = un+1 + un,
c'est à dire si un+2 - un+1 - un = 0
Fais ce calcul en te souvenant que et sont des solutions de x²-x-1=0

Pour la 4), tu calcules u0 et u1 et tu obtiendras deux relations avec A et B dont la résolution te donneront A et B.
Après pour calculer u20 et u40, tu utilises la formule directe de un (utilise une calculatrice).

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 16:37

désolé je n'ai pas compris comment faire pour le 3.:S

ce que je dois démontrer c'est que la suite définie par un =A(exposant n) +B(exposant n) est solution de un+2= un+1 + un.

Donc si je calcule un+2-un+1-un=0
                   un +2un-(un+un)-un=0
                   et voila ici je me suis embrouillé je sais pas je pense que c'est faux

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 17:13

En effet, tu pars de la fin

L'objectif c'est de montrer que un = An + Bn est solution de l'équation
un+2 = un+1 + un (ce qui est équivalent à l'équation un+2 - un+1 - un = 0, tu es d'accord?)

Seulement tu ne le sais pas encore, tu dois le montrer, donc lorsque tu calcules un+2 - un+1 - un, tu ne peux pas supposer que ça vaut 0.
Par contre tu peux remplacer un par son expression et faire le calcul à partir de là.

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 17:38

c'est a dire que je fais donc:
un+2=un+1+un
un+2=un+1+(A(exposantn)+B(exposant n))
un+2=un+1+(A((1-5)/2)exposant n+B(1+5)/2)exposant n.
puis maintenat...?

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 17:48

Non tu n'as pas besoin d'utiliser les valeurs de et
Par contre tu peux aussi remplacer un+2 et un+1 par leurs expressions en fonctions de et

Ensuite dans le calcul tu ne sais pas que un+2 = un+1 + un (tu dois le montrer)
pour cela, tu calcules un+2 - un+1 - un (et tu montres que ça fait 0)

C'est clair pour toi ?

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:11

ok
donc :
je démontre que un+2=un+1+un:
un+2= un+un+un
un+1+un=un +un+un
donc un+2=un+1+un
Apres,
un+2=A(exposant n+2)+B(exposant n+2)
un+1=A(exposant n+1)+B(exposant n+1)
Donc:
un+2=un+1+un
=(A(exposant n+2)+B(exposant n+2))-(A(exposant n+1)+B(exposant n+1))-(A(exposant n)+B(exposant n)
don c je dois démontrer que ceci est égal a 0 je publie la suite dans quelques kinutes quand je suis arrivé
mais jusqu'a maintenat c'est correct?

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:19

Oui c'est ça, tu dois maintenant continuer le calcul en mettant en facteur certains termes, et en utilisant le fait que et sont solutions de l'équation x² - x - 1 = 0

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:26

en suite j'ai factoriser par A(exposant n) puis ensuite par B(exposant n)

A(exposant n)B(exposant n)(²+²---1)
est- ce que c'est correct?

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:31

Dans l'idée c'est ça, mais le calcul est faux, ça donne plutôt ça:
An(²--1) + Bn(²--1)

C'est clair ?
Je te laisse finir après pour la suite

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:32

comment je fasi pour utiliser  le fait que  et  sont solutions de l'équation x² - x - 1 = 0?

Posté par
Serphone
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:41

Eh bien, comme et sont solutions de x²-x-1=0 ça veut dire que:
²--1=0 et ²--1=0

Donc les deux termes sont nuls dans la relation trouvée avant

Posté par
tables
re : suite de Fibonacci 01-05-12 à 18:58

Merci beaucoup Serphone!! je sais que ca était compliqué de m'expliquer:s



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