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Suite de Syracuse
Bonjour !
J' éprouve quelques difficultés avec mon DM de maths intitulé « Suite
de Syracuse »…
La suite (u indice n) est définie par récurrence de la façon suivante
( j' ai remplacé la notation indice par des parenthèses, sauf cas
contraire) : u(o) = a et si u(n) est pair alors u(n+1) = u(n)/2 ,sinon
u(n+1) = 3u(n)+1
1. Quel est le comportement de la suite pour u(o) = 1, puis 2 puis 4 ? Là,
j' ai réussi : la suite est périodique au bout d' un certain rang.
Plus généralement, quel est le comportement de la suite pour u(o)
= 2 exposant k ? Là , je ne vois vraiment pas…
2. Déterminer toutes les suites telles que u(4) = 3. puis celles telles que u(4)
= 3. Là non plus, je ne vois pas comment partir…
3. Quel est le comportement de la suite pour u(o) = 3, puis 6 puis 12 ? Là,
j' ai trouvé, la suite est périodique au bout d' un certain rang.
Plus généralement quel est le comportement de la suite pour u(o)
= 3*2 exposant k ? Je n' ai pas réussi cette question non plus.
Je ne sais pas si les démonstrations que je n' ai pas réussi à trouver
sont à prouver dans le cas général ou alors en s' aidant d' un tableur
( la suite du DM se compose de calculs avec un tableur alors je me
suis posé la question…)
Je vous remercie par avance de votre aide éventuelle, qui me serait
bien précieuse afin de mener à bien mon devoir !
lucas
1) Si u(0)=2^k alors u(0) est pair et pour tout n<k car u(k)=1 donc
décroissante. puis à partir du rang k périodique comme avant.
Voila pour le début
Bonsoir,
1) U0=2^k donc U0 est pair. On divise par 2 jusqu'à obtenir 1.
Ensuite on retombe sur la suite périodique 1,4,2,1,4,2...
2) Tu poses deux fois la même question :
u4=3, on a alors u3=6 donc u2=12, donc u1=24, u0=48
car à chaque étape Un est un multiple de 3 donc il ne peut pas être le
résultat de 3Un+1.
3) Si U0=3*2^k, U0 est pair donc on divise k fois par 2 pour obtenir
Uk=3 et ensuite on reprend à partir de là et on obtient une suite
périodique.
@+
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