Comme tu l'as dit: le signe de la différence U(n+1)-U(n); comparer U(n+1)/U(n) même si la suite (u_n) n'est ni géométrique ni arithmétique.

Merci de ta réponse.

Cependant, je demandais dans le cas de suites définies par récurrence.
Par exemple, la suite définie par :
U0 = 4
U(n+1) = (1/2)*(Un)+1

Je ne peux ni appliquer la méthode du signe de la différence, ni celle du quotient. Comment faire ?

Ici u(n+1)-u(n)=(2-u(n))/2

A partir de la tu te dis, bon comment est u(n) par rapport a 2. Visiblement u0 est plus grand que 2 et tu fais l'hypothese que un2.

Et la , miracle, la recurrence marche tres bien.

Je te laisse conclure.

Merci mais je ne vois pas comment on peut passer de U(n+1)-U(n)=(2-(Un))/2 au fait que U(n) est toujours supérieur ou égal à 2. Et je n'ai toujours pas son sens de variation.

En fait j'ai ecrit cette egalite pr voir on va dire. Ensuite il faut bien etudier le signe, non?

Donc je me demande quelle est la position de un par rapport a 2. En voyant le 1er terme superieur a 2, je SUIS AMENE A PENSER que tous les autres termes sont superieurs a 2 (au vu de la relation, je me dis que ca parait possible)

Je viens d'etablir une hypothese : il faut reellement la demontrer en suite, par recurrence

EN voyant que ca marche et que u(n+1)-u(n)0, que conclus tu?

Je ne comprends pas très bien pourquoi U(n+1)-U(n) est inférieur ou égal à 0 (ce qui signifierait que U(n) est décroissante). Et que signifie "démontrer par récurrence" ?

Et puis un bon truc à savoir, c'est dessiner la fonction f(x) et la droite y=x (qui sert à rabattre les termes de l'axe des y sur l'axe des x pour continuer la récurrence) :

A chaque verticale bleue, tu as un terme de la suite.
On voit comme ça graphiquement que la suite est décroissante et tend vers 2.

Tu n'as peut etre pas vu ce que est la recurrence. Manga 2 te l'a explique. En gros, tu commences par dire que la propriete( qui est un2 est vrai au rang n=0 ( ca s'appelle l'initialisation)

Ensuite tu SUPPOSES qu'a un rang n la propriete est vraie et tu prouves qu'a n+1 c'est vrai.(l'heredite)

Ensuite pourquoi ca marche? Tout simplement parce que ca le fait au rang 0 mais avec l'heredite montree ca marche au rang suivant c'est a dire 1
Comme ca marche au rang 1, en utilisant l'heredite ca marche au rang suivant cad 2 etc.........

Donc ca marchera quelque chois l'entier positif que tu prendras : donc tu peux affirmer que pour tout n0, un2

D'accord c'est bien compris !
Merci !

Bonjour à vous,

Les démonstrations par récurrence est au programme de Terminale, alors cela doit passer à des km au dessus de la tête de Ognivid ...

Déjà qu'il(elle) ne comprend pas comment tu as trouvé u_n+1-u,_n....

Pour cette différence tu remplaces u_n+1 par la formule de récurrence et tu fais le calcul.