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Suite et récurrence
Bonjour ! Je suis en train de faire un exercice de mathématiques sur les récurrences mais je suis bloqué. Voici l'énoncé
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n , par Un+1 = 0,8Un+2 et Uo = 80
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un+1 < Un
Voici le début de mon exercice :
Soit P(n) la proposition : " Un+1<Un
Initialisation: Démontrons que P(0) est vraie
Uo= 80 et 0,8xUo +2 = 0,8 x 80 +2 = 66 = U1
Donc U1<Uo P(0) est vraie
Hérédité: On suppose P(n) vraie pour un entier naturel n fixé
Notre Hypothèse de récurrence : " Un+2< Un+1"
D'après l'énoncé : Un+2 < Un+1
Je bloque à cette partie, merci d'avance pour l'aide !
Bonjour
Il faut faire attention à l'écriture : ne pas confondre
On a bien l'initialisation
On suppose et on montre que
Pour avoir , vous êtes parti de
puis, vous avez multiplié les deux membres par 0,8 et enfin ajouté 2.
On part de la relation
ensuite, on multiplie par 0,8 les deux membres et enfin, on ajoute 2.
On regarde ce que l'on a obtenu
Non. Attention à l'écriture, marquez bien les indices
on multiplie par 0,8 les deux membres
on ajoute 2.
Le premier membre est
le second membre est
on a bien montré que u_{n+1}<u_n entraîne
à compléter
Le premier membre est 0,8 u_{n+1}+2
le second membre est 0,8 u_n +2
on a bien montré que u_{n+1}<u_n entraîne u_n+2 < U_n+1
À l'écriture près*, c'est bien ce que l'on voulait démontrer
Conclusion pour tout
* les indices ne sont pas très marqués et u doit être en bas de casse
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