1)

U(0) = 4
U(1) = 4² = 16
U(2) = 16² = 256
U(3) = 256² = 65536
U(4) = 65536² = 4294967296
---
2)
U(n) = 4^(2^n)
---
3)

Supposons que U(n) = 4^(2^n) soit vrai pour une certaine valeur k de n, on
a alors:
U(k) = 4^(2^k)

U(k+1) = (U(k))²
U(k+1) = (4^(2^k))²
U(k+1) = 4^(2^(k+1))
qui est l'expression U(n) = 4^(2^n) dans laquelle n = k+1.

Et donc si U(n) = 4^(2^n) est vrai pour une certaine valeur k de n,
U(n) = 4^(2^n) est encore vrai pout n = k + 1.

U(0) = 4.
4^(2^0) = 4^1 = 4
et donc U(0) = 4^(2^0)

U(n) =4^(2^n) est vrai pour n = 0 et donc est aussi vrai pour n = 1.
U(n) =4^(2^n) est vrai pour n = 1 et donc est aussi vrai pour n = 2.
U(n) =4^(2^n) est vrai pour n = 2 et donc est aussi vrai pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, U(n) =4^(2^n) est vrai pour tout n de
N.
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Sauf distraction.