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Suite- recurrence- programme

Posté par
CapitainePois
18-09-22 à 15:58

Bonjour à tous! J?ai un exercice de mathématiques à faire, or je bloque à un endroit.

Voici l?énoncé: Le 2 janvier 2019, la médiathèque d'une ville a ouvert ses portes et a enregistré 2500 inscriptions cette année là. On estime que chaque année, 20% des anciens inscrits ne renouvelleront pas leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents. On modélise cette situation par une suite (an) où a=2500 est le nombre d'inscrits en 2019 et, pour tout entier naturel n, an désigne le nombre d'inscrits pendant l'annéc 2019+n.

Et la suite de celui-ci: https://***lien supprimé***

Pour la 1, aucun problème

a)
a1=2500*0,8+400=2400
a2=2320

b)La suite n?est ni arithmétique ni géométrique (car on a 2500-2400= 100 et 2400-2320=80 et non à 100, même chose pour la géométrique mais en divisant)

Et pour la c, cela est évident.

or, pour la 1d, j?ai un doute, est-ce-bien comme ceci?: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/37/mh23.jpeg

2a) C?est à cette question-ci que cela devient plus compliqué. En effet: j?ai réalisé ceci mais aucune idée de comment le prouver réellement:

2000<=ap+1<=ap

2000<=ap+1<=(ap+1-400)/0.8

2000<=ap+1<=1.25ap+1-400



Or à partir de ce moment ci, je me suis demandé comment démontrer au final que ap+1sera toujours inférieur ap, et encore plus complique: comment ap+1 sera toujours supérieur a 2000? puisque je suis bloqué dans une sorte de boucle ou des ap et des ap+1 seront toujours présents (nous n?avons pas en effet de valeurs fixes)


b) même sans le prouver, on peut déduire que le nombre d?inscrits ne passera jamais en dessous de 2000

c) Je n?ai jamais fait de tels algorithmes avec une boucle « pour » si quelqu?un pourrait m?éclairer et vérifier Mon algorithme:

a<-2500
Pour a allant de 2500 a 2000
     a<-2500x0.8+400
     N<-N+1
Fin du Pour


Merci d?avance pour vos réponses

Posté par
malou Webmaster
re : Suite- recurrence- programme 18-09-22 à 16:03

Bonjour

ton lien (interdit) a été supprimé

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 18-09-22 à 17:35

Bonjour! Désolé pour ce problème.

Voilà donc l'entièreté des questions écrites:

1) a)Calculer a1 et a2-

b. La suite (an) est-elle arithmétique ? geométrique ? Justifier.

c. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : an+1 = 0,8 an +400.

d. Dans un repère orthonormé du plan (prendre 4 carreaux pour 500), tracer la droite d'équation y=x et construire Les premiers termes de la suite (an).

2.a. Par un raisonnement par recutrence, demontrer que pour tout entier naturel n, on a :
2000 ≤ an+1 ≤ an.

b. Quelles conséquences peut-on en déduire sur le nombre d'inscrits ?

c. N designe un entier naturel non nul.
Compléter l'algorithme ci-contre qui calcule le nombre d'inscrits en 2019+N

Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 18-09-22 à 17:38

Voilà également l'image du graphique

Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 18-09-22 à 17:42

Voilà

Suite- recurrence- programme

Posté par
carpediem
re : Suite- recurrence- programme 18-09-22 à 20:26

salut

CapitainePois @ 18-09-2022 à 15:58


2a) C?est à cette question-ci que cela devient plus compliqué. En effet: j?ai réalisé ceci mais aucune idée de comment le prouver réellement:

CapitainePois @ 18-09-2022 à 17:35

2.a. Par un raisonnement par recutrence, démontrer que pour tout entier naturel n, on a :
2000 ≤ an+1 ≤ an.
je suppose que c'est par récurrence

mézalor une première question s'impose : es-tu en première ? (si oui où ?)
car le raisonnement par récurrence n'est vu qu'en terminale en France

ensuite dans un raisonnement par récurrence il y a toujours une proposition à démontrer (par récurrence) !!

donc :

1/ quelle est cette proposition ?
2/ que faut-il faire ensuite pour mener le raisonnement ?

Posté par
co11
re : Suite- recurrence- programme 19-09-22 à 19:05

Bonsoir,

1) a) b) ok      c) à expliquer, mais si tu sais faire, ça va    
d) Il manque une droite je pense pour une représentation graphique.....

2) a) cf le message de carpediem
      b) suivra
  
2) c) je n'ai pas encore regardé ....

Posté par
co11
re : Suite- recurrence- programme 19-09-22 à 19:14

Un oubli : dans ton premier message CapitainePois

Citation :
On modélise cette situation par une suite (an) où a=2500 est le nombre d'inscrits en 2019 et, pour tout entier naturel n, an désigne le nombre d'inscrits pendant l'annéc 2019+n.

au lieu de a = 2500, écrire a0 = 2500

Posté par
co11
re : Suite- recurrence- programme 19-09-22 à 19:38

2) c)

Citation :
a<-2500
Pour a allant de 2500 a 2000
     a<-2500x0.8+400
     N<-N+1
Fin du Pour


Je ne pense pas que ce "début" d'algorithme t'a été proposé, trop de confusion. Bon, à suivre ...

Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 21-09-22 à 15:23

Bonjour! Je suis bel et bien en première, pour le raisonnement par récurrence, notre professeur avait « oublié de l'enlever de l'exercice »… Mais après de nombreuses recherches, je l'ai quand même fait pour le plaisir…

raisonnement par récurrence:

Inutialisation: vérifions que cela est vrai pour a0

2000<=a0+1<=a0
2000<=a1<=a0
2000<=2400<=2500

Donc correct

Hérédité: on suppose qu'il existe un entier p tel que: Pn=2000<=an+1<=an


Montrons le donc pour Pn+1:

Pn<=an+1<=an

x0,8

1600<=0,8an+1<=0,8an

+400

2000<=0,8an+1+400<=0,8an+400

2000<=an+2<=an+1


Conclusion: cette inégalité est donc vraie quelque soit le n entier naturel.

Pour le graphique, c'est également réglé!

Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 21-09-22 à 15:28

Concernant le programme: ce programme ne m'a pas été donné, mais c'est le fruit de ma réflexion (n'ayant jamais utilisé de Pour…)

Le début de programme donne etait:

a<-…..

Pour…..
A<-……
Fin du Pour

Cet algorithme doit être complété pour qu'il calcule le nombre d'inscrits en 2019+N

Ma réponse était ici: a<-2500
Pour a allant de 2500 a 2000
     a<-2500x0.8+400
     N<-N+1
Fin du Pour

Mais visiblement, elle apporte trop de confusions, donc sûrement incorrecte…

Posté par
CapitainePois
re : Suite- recurrence- programme 21-09-22 à 15:30

J'ai oublié un espace (oups) Le début de programme donné était donc:

a<-…..
Pour…..
      a<-……
Fin du Pour

Posté par
co11
re : Suite- recurrence- programme 21-09-22 à 22:05

Rebonsoir,

Je ne sais pas si c'est une bonne idée de voir cela tout seul ...  pas si facile, et en première en plus.
J'essaie de commenter ce que tu as présenté :

Citation :
Hérédité: on suppose qu'il existe un entier p tel que: Pn=2000<=an+1<=an

Pn=2000 : ça ne veut rien dire. Je pense que Pn est la propriété à prouver (pour tout n) et non un nombre.
Essaie d''énoncer cette propriété Pn


Ensuite : on suppose qu'il existe un entier p tel que:

Mais l'entier p n'apparait plus ensuite .... ?
Vu ce qui suivait, tu aurais du écrire : on suppose qu'il existe un entier naturel n tel que 2000 an+1 an
Ou alors, tu gardes le même début ( il existe p ...) et ensuite, au lieu de n, emploies p

Je te laisse voir si tu veux poursuivre.

Posté par
co11
re : Suite- recurrence- programme 21-09-22 à 22:21

Pour les calculs présentés au cours de l'hérédité, tu sembles savoir faire , mais rédaction à reprendre compte tenu de mes remarques précédentes.



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