Voila pour le morceau que tu n'as pas su faire.

Supposons U(k) <= 3/2
on a :   U(k+1) = (1/4).(Uk)² + (3/4)

U(k+1) <= (1/4).(3/2)² + (3/4)
U(k+1) <= (1/4).(9/4) + (3/4)
U(k+1) <= (9/16) + (12/16)
U(k+1) <= (21/16)
U(k+1) <= 1,3125
et donc a fortiori :
U(k+1) <= 1,5
U(k+1) <= 3/2

Donc, si U(k) <= 3/2, on a aussi U(k+1) <= 3/2   (1)

U(0) = 3/2, on a U(0) <= 3/2 et par (1), on a U(1) <= 3/2
comme U(1) <= 3/2; par (1), on a U(2) <= 3/2
comme U(2) <= 3/2; par (1), on a U(3) <= 3/2
comme U(3) <= 3/2; par (1), on a U(4) <= 3/2
Et ainsi de proche en proche, on a U(n) <= 3/2 pour tout n de N.
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Sauf distraction.    

bonjour
oermettez moi d'ajouter le complément suivant:

considérez la fonction f(x)=x²/4  + 3/4

f est continue sur R.

f'(x)=x/2 >0 sur ]0,+oo[

donc f est strictement croissante sur ]0,+oo[.

donc si ]a,b[ est un intervale de ]0,+oo[ alors

si  a<x<b alors f(a)<f(x)<f(b).

c'est ce résultat que nous alons utilisr dans la récurence pour montrer
que 1<Un<3/2?

comme l'intervale ]1,3/2[ est inclu dans ]0,+oo[

alors

si 1<Un<3/2 alors f(1)<f(Un)<f(3/2)

f(1)=1/4+3/4=1

f(3/2)=9/4*1/4+3/4=3/2(1/8 +1/2)=3/2(5/8)

comme 5/8<1 donc 3/2(5/8)<3/2 donc f(3/2)<3/2

donc 1<f(Un)<3/2

comme U(n+1)=f(Un)

donc   1<U(n+1)<3/2

voila pour le complément.
retenez bien la méthode de passage par une fonction dont vous connaissez
le sens de variation. C'est souvent bien utile.

bon courage

rebonjour
mille excuses veuillez lire à la place de
"f(3/2)=9/4*1/4+3/4=3/2(1/8 +1/2)=3/2(5/8)

comme 5/8<1 donc 3/2(5/8)<3/2 donc f(3/2)<3/2 "

ceci:

f(3/2)=9/4*1/4+3/4=3/2(3/8 +1/2)=3/2(7/8)

comme 7/8<1 donc 3/2(7/8)<3/2 donc f(3/2)<3/2

désolé faute de distraction

Merci bcp pour la réponse