Bonjour alexxx,

1)
On a : U_n+1 = (4n+11)/(3n+4)
Calculons U_n+1 - U_n :
U_n+1 - U_n=(4n+11)/(3n+4)-(4n+7)/(3n+1)
=[(4n+11)(3n+1)-(4n+7)(3n+4)]/(3n+1)(3n+4)
=-17/(3n+1)(3n+4)

Or le dénominateur est positif donc
U_n+1 - U_n < 0
soit U_n+1 < U_n

La suite Un est donc décroissante.

Autre méthode :
Soit f(x)=(4x+7)/(3x+1)

On a : f'(x)=-17/(3x+1)² < 0
Donc f est strictement décroissante.

A suivre...

Avec la deuxième méthode, on conclut de la même façon que la suite
est décroissante.

2)
La suite est décroissante donc :
U_n <= U₀
Or U₀=7.
Donc U_n est majorée par 7.

Calculons U_n-4/3
U_n-4/3=17/(3(3n+1)) > 0
Donc U_n > 4/3.
Donc U_n est minoré par 4/3.

@+

Salut alexxx!  

1)Donnons les variations de (Un)
Pour cela, étudions les variations sur R+ de la fonction f définie par:

f(x)=u(x)

cad f(x)=(4x+7)/(3x+1)

f est dérivable sur R - {-1/3} comme quotient de fonctions dérivables.
On a

f=u/v    ie    f'=(u'v-v'u)/v²

avec :

u=4x+7    ie  u'=4
v=3x+1    ie  v'=3

On a donc finalement :

f'=(4*(3x+1)-3*(4x+7) / (3x+1)²
f'=(12x+4-12x-21) / (3x+1)²
f'= -17 / (3x+1)²

Pour étudier les variations de f, intéressons-nous au signe de f'.
(3x+1)² est positif pour tout x et -17 est négatif.

CONCLUSION : f' est négative sur R, donc f est décroissante sur R,
et (Un) est décroissante sur N.


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Voici deux autres méthode qui fonctionne également et qui sont put-être
plus simple :

1) Calculons u_n+1-u_n :

*u_n+1-u_n=[4(n+1)+7]/[3(n+1)+1] - (4n+7)/(3n+1)
*u_n+1-u_n=(4n+8)/(3n+4) - (4n+7)/(3n+1)
*u_n+1-u_n=[(4n+8)(3n+1) - (4n+7)(3n+4)] / [(3n+4)(3n+1)]
( à la dernière ligne je fais tout passer sur le même dénominateur)
*u_n+1-u_n=[12n²+28n+8 - 12n²-37n-28] / (9n²+15n+4)
*u_n+1-u_n= -[ (9n+20) / (9n²+15n+4) ]

n E N, donc pour pour tout n E N, on a bien :
  u_n+1-u_n < 0
  u_n+1 < u_n

La suite est donc décroissante.

2) On remarque que pour tout n E N, u_n E R⁺, donc
on peut aussi appliquer la méthode du calcul du quotient u_n+1/u_n
:

*u_n+1/u_n= [(4n+8)/(3n+4)] / [(4n+7)/(3n+1)]
*u_n+1/u_n= [(4n+8)*(3n+1)] / [(3n+4)*(4n+7)]
(Diviser par un nombre revient à multiplier par l'inverse de ce nombre)
*u_n+1/u_n= (12n²+28n+8) / (12n²+37n+28)

Pour tout n E N, on a bien :

12n²+28n+8 < 12n²+37n+28

donc pour tout n E N, on a :

u_n+1/u_n < 1
u_n+1 < u_n

La suite est donc décroissante.
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2) Montrer que (Un) est minorée par 4/3 et majorée par 7.
On vient de voir que (Un) est décroissante donc, la suite sera majorée
par u_n, tel que n soit le plus petit possible, càd 0.
Or, on a :

u₀=(4*0+7)/(3*0+1)
u₀=7/1
u₀=7

CONCLUSION : (Un) est majorée par 7.

La suite (Un) est décroissante donc, elle sera minorée par u_n
tel que n soit le plus grand possible (cad lorsqu'il tendra
vers l'infini). On va donc calculer la limite de (Un) en +oo.
On a :

u_n=(4n+7)/(3n+1)
u_n=[4n(1+7/(4n))] / [3n(1+1/(3n))]
u_n=[4(1+7/(4n))] / [3(1+1/(3n))]

Lorsque n tendra vers +oo, (1+1/(3n)) et (1+7/(4n)) tendront vers 1, donc
on a :

lim   u_n  = 4/3
n -> +oo

CONCLUSION : (Un) est bien minorée par 4/3.

Voilà, j'espère avoir pu t'aider.
À bientôt .