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Suites arithmétiques et géométriques

Posté par
maelys31
06-07-21 à 16:22

Bonjour, j'ai besoin de votre aide sur cet exercice. Merci beaucoup.

(un) est la suite définie par u0=0 et la relation de récurrence un+1=\frac{2u_n+3 }{u_n+4} pour tout entier naturel n.
On définit la suite (vn) par vn=\frac{u_n-1}{u_n+3} pour tput entier naturel n.

1- Calculer u1, u2 et u3.

2- Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

3- Exprimer vn en fonction de n.

4- En déduire un en fonction de n.

Voici ce que j'ai fait:

1- u1= (3/4)
u2= (18/19)
et u3=(93/94)

2- vn+1=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}= \frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}= \frac{u_n-1}{5u_n+15}= \frac{1}{5}×\frac{u_n-1}{u_n+3}= \frac{1}{5}v_n

3- Ainsi vn= (-1/3)×(1/5)n.

4-   v_n=\frac{u_n-1}{u_n+3}

v_n(u_n+3)=u_n-1
C'est ici que j'ai un problème, je ne sais comment transformer cette équation pour obtenir un=.
Merci

Posté par
carpediem
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 17:39

salut

et si je te l'écris : v(x + 3) = x - 1  tu saurais me trouver x ?

(c'est une équation du premier degré en l'inconnue x donc tu agis comme tu l'as appris au collège ...

Posté par
maelys31
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 18:18

vx+3v=x-1
vx-x= -3v-1
x(v-1)= -3v-1
x=\frac{-3v-1}{v-1}
Soit u_n=\frac{-3v_n-1}{v_n-1}.
J'ai vraiment honte de ne pas avoir vu ça...
Merci infiniment pour votre aide et le temps que vous avez passé

Posté par
matheuxmatou
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 18:22

bonsoir

c'est correct

reste à remplacer vn par son expression

Posté par
maelys31
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 18:33

Ainsi u_n=\frac{(\frac{1}{5})^n-1}{-\frac{1}{3}×(\frac{1}{5})^n-1}.

Posté par
matheuxmatou
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 18:37

voilà

et si tu veux éviter les étages et trop de signes "-" tu peux multiplier haut et bas par

- 3 . 5n

Posté par
carpediem
re : Suites arithmétiques et géométriques 06-07-21 à 19:51

de rien ...

et il n'y a aucune honte : parfois une simple "simplification des lettres" permet de revenir et reconnaitre à ce qu'on a déjà vu !!

et la proposition de matheuxmatou est un bon exercice pour s'entrainer à travailler les fractions et les puissances ... et bien sûr tout cela dans l'objectif de simplifier ton expression au final ...

Posté par
maelys31
re : Suites arithmétiques et géométriques 07-07-21 à 17:41

D'accord, merci beaucoup pour vos conseils et votre aide matheuxmatou et carpediem

Posté par
matheuxmatou
re : Suites arithmétiques et géométriques 07-07-21 à 18:52

pas de quoi, c'est un plaisir



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