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Suites: exprimer un+1-un en fonction de n

Posté par
Desertique
21-10-19 à 12:37

Bonjour,

J'ai un DM de math à rendre pour la rentrée et je bloque un peu sur une des question... Je vous mets l'énoncé complet:

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par:
un=n^2/2^n

Exprimer un+1-un en fonction de n.
----------------------------

Je vous montre ce que j'ai commencé à faire:

un+1= (n+1)^2/2^n+1

un+1 - un= (n+1)^2/2^n+1    -    n^2/2^n
                     = (n+1)^2*2^n/2^n+1*2^n    -   n^2*2^n+1/2^n+1*2^n
                     =(n+1)^2*2^n - n^2*(-2^n+1)/2^n+1*2^n
                      =(n^2+2n+1)*2^n - n^2*(-2^n)*2^1/ 2^n+1*2^n

Je ne sais pas si jusqu'ici j'ai bon ou si j'ai fait n'importe quoi lol, et je ne sais pas trop comment continuer...
J'espère que vous comprendrez ce que j'ai fait et que vous pourriez m'aider

Bonne journée

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 12:44

bonjour,

pour mettre au même dénominateur, note que

2n+1 =  2  *  2n

ça va éclaicir ton  calcul

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 12:50

Bonjour Leile,

J'ai déjà mis au dénominateur commun, j'ai trouvé 2^n+1* 2^n....

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 12:57

oui, j'ai vu ce que tu as fait..
mais le dénominateur commun que tu as   (  2n+1   *  2n ) est lourd..

le dénominateur commun que je te proposais  est  2n+1
il suffit de multiplier   2 n par 2   pour obtenir 2n+1

(si tu veux continuer sur ce que tu as fait, tu peux factoriser ton numerateur par 2 n, puis simplifier.. je n'ai pas  vérifié ce que tu as écrit.. je m'y mets).

..

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 13:03

dans ce que tu as écrit, il y a une erreur de signe

quand tu passes de
= (n+1)^2*2^n/2^n+1*2^n    -   n^2*2^n+1/2^n+1*2^n
à
    =(n+1)^2*2^n - n^2*(-2^n+1)/2^n+1*2^n

là, il faudrait écrire (2^(n+1) )    et non (-2^(n+1))

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 13:12

D'accord pour le dénominateur, il faudrait donc que dès la deuxième ligne j'écrive seulement 2^n * 2 ?
------
Et merci pour l'erreur de signe, je pensais que le moins se distribuait pour le n carré et le 2 a la puissance n+1. C'est noté !

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 13:26

refais le calcul, montre ce que tu obtiens..

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 13:52

Là je suis pas sûre du tout mais j'ai trouvé ça pour la deuxième ligne:

(n+1)^2/2^n*2  -  n^2*2/2^n*2
Pour un+1 on multiplie pas le numérateur par 2^n car on a déjà 2^n dans le dénominateur. Pareil pour le numérateur de un, on multiplie que par 2 car on a déjà 2^n dans le dénominateur, c'est ça ?
Donc après j'ai:

(n+1)^2 - 2n^2/2^n*2

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:03

difficile de comprendre ce que tu écris sans parenthèses !

je suppose que tu obtiens

\dfrac{(n+1)²-2n²}{2*2^n}

c'est ça ?   si oui, tu es presque au bout..
encore une fois 2 * 2^n   =    2 ^(n+1)

tu peux développer et réduire le numérateur..

donc au final   Un+1 - Un = ??

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:19

Oui c'est ce que j'ai trouvé !

Pour le numérateur, il faudrait appliquer l'identité remarquable normalement donc:

(n^2+2n+1) - 2n^2 / 2^(n+1)

je factorise par n:
n(2n+1-2n)/2^(n+1)

Là les 2n s'annule donc ça nous donne:
n/2^(n+1)

C'est bon ?

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:32

euh...   ta factorisation est fausse..

n² + 2n +1 - 2n²   =  ??

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:39

Factoriser par 1 alors ? Je vois pas comment faire autrement..

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:41

Ca donne 1(n^2+2n-2n)
Et là aussi les 2n s'annule donc il reste que n^2

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:42

mais non, ne cherche pas à factoriser, mais à réduire.
Tu as développé l'identité remarquable, pour terminer, il faut réduire.

n²   -  2n²  =  ??

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:45

Ah ok, ça donne -n^2

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:47

ben oui,
donc on arrive à
Un+1 - Un = ??  

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:48

-n^2 + 2n + 1/2^(n+1)  ?

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:51

tu doutes ??

avec des parenthèses c'est mieux !
(-n^2 + 2n + 1)/2^(n+1)  ?

On a terminé ? Tout est OK pour toi ?

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:57

Ah oui, les parenthèses...

Oui tout est ok pour moi, merci beaucoup de m'avoir aidée !

Posté par
Leile
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 14:59

je t'en prie.
Je te recommande de re-travailler un peu le calcul litteral et notamment les calculs sur les puissances : tu seras plus à l'aise sur les exercices de suites !
Bonne journée.

Posté par
Desertique
re : Suites: exprimer un+1-un en fonction de n 21-10-19 à 15:03

Oui c'est vrai que j'ai encore un peu de mal avec les calculs sur les puissances...
Encore merci et bonne journée à vous aussi !



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