salut.
a 1 an 1 bougie.
a 2ans 2 bougies...
soit u(n) le nombre de bougies sur le gateau a son n eme anniversaire.
u(n)=n.

donc on peut dire que le nombre de bougie sur le gateau
verifient la relation suivante u(n+1)=u(n)+1.,n>=1.

c'est une suite ARITHMETIQUE. de premier terme u1=1 et de raison 1.
donc u1+u2+...u(n)=n*(n+1)/2

or il manque une annee soit n0 cette année.
u(n0)=n0.
on note n l'age d'andre.
donc u1+....+u(n)-u(n0)=n*(n+1)/2-n0=2000.
et n0=<n.
reste a trouver le couple (n,n0).
n*(n+1)/2=2000+n0
donc n*(n+1)/2>=2000
donc n^2+n>=4000
n^2+n-4000>=0
equation x^2+x-4000=0
discriminant 160001
donc x1=(-1-rac(16001))/2 et x2=(-1+rac(160001))/2
sont solutions.
donc pour x^2+x-4000>=0
x est dans ]-inf,x1] union [x2,+inf[
comme x1<0 ]inf,x1] est dans R-
et x2>0,[x2,+inf[ est dans R+.
donc pour n^2+n-4000>=0
donc n>=63. (car n>=0) et n entier.
donc n=63,64,65 ou....

maintenant on a n*(n+1)/2-2000=n0
or n0=<n. donc n*(n+1)/2-2000=<n
donc n^2-2n-3999=<0
on resouds cette inequation en sachant que n>=0 et n entier
et on a n entier et n=<63

donc on a n>=63 et n=<63 donc l'age d'Andre est 63 ans.

on peut calculer a quel age il a oublie de recuperer les bougies :

n0=n*(n+1)/2-2000=63*(63+1)/2-2000=16

donc Andre a 63 ans. André a conservé ttes les bougies de ses gateaux d'anniversaire sauf celles d'une année : celles de ses 16 ans.
Il a maintenant 2000 bougies.

a+