Bonjour
J'ai un pb avec cet exo sur les suites. Si vous pourriez m'aidez ce serait trés gentil. Merci d'avance.
Soit Un la suite définie par Uo=4 et U(n+1)= (1/2)(Un+(3/Un)).
En calculant Uo U(1) ... U(6) on voit que Un converge vers 1.7
j'ai démontré par récurrence que Un0
puis j'ai démontré que U(n+1)-3= (1/2Un)(Un- rac(3))² puis on en conclut que Un3
Soit Vn=Un-3
je dois démontrer que 0V(n+1)(Vn)² puis je dois en déduire que 0VnVo² puissance n
bonsoir ,
tu as tout pour démontrer ce qu'il faut
tu as ceci:
et
d'où
or
ainsi
ainsi
pour la suite,
as-tu entendu parler du raisonnement par récurrence?
sinon,
tu as
donc
par contre, si tu connais la raisonnement par récurrence, il vaut mieux l'utiliser ici
voilà
U(n+1)-rac(3) = (1/2Un)(Un- rac(3))²
V(n+1) = (1/2Un)(Un- rac(3))²
V(n+1) = (1/2Un)(Vn)²
Comme Un >= 0, on a donc: V(n+1) >= 0
0 <= V(n+1) (1)
---
V(n) = U(n) - rac(3)
V(n+1) = U(n+1) - rac(3)
V(n+1) = (1/2)(Un+(3/Un)) - rac(3)
V(n+1) = (1/2)((Un)²+3)/Un) - rac(3)
V(n+1) = (1/2)((Un)²+3-2rac(3).Un)/Un)
V(n+1) = (1/2)(Un - rac(3))²/Un
V(n+1) = (1/2)(Vn)²/Un
V(n+1) = (1/(2Un))(Vn)²
Or 2Un >= 2.rac(3)
a fortiori 2Un >= 1
1/(2Un) <= 1
-> V(n+1) <= (Vn)² (2)
---
(1) et (2) ->
0 <= V(n+1) <= (Vn)²
-----
Sauf distraction.
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