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sur les suites

Posté par via (invité) 27-12-04 à 16:45

Bonjour!

On définie sur IN,  la suite (Un) suivante : U0 = 6 et ²n de IN: 2Un+1 - Un - 3 = 0

1° montrer que la suite (Un) est strictement décroissante sur IN

2° démonter que (Un) est proche puis calculer sa limite lorsque n tend vers + w

3° calculer Un puis Sn là où Sn = U0 + U1 + …………….+Un  en fonction de l'entier naturel n

4° trouver (x, y) dans IN²   tel que : 3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3)  est divisible par 7

Exercice spécialité maths, merci de m'aider, il est  très difficile !

Posté par
isisstruiss
re : sur les suites 27-12-04 à 17:28

On a u_{n+1}=\frac{3+u_n}{2}
Je définis une nouvelle suite w_{n+1}=\frac{w_n}{2}\quad w_0=\frac{9}{2}. Elle est clairement décroissante si les termes de la suite sont positifs (c'est notre cas). On a aussi u_n=w_n+\frac{3}{2}. On peut conclure que u_n est aussi croissante car u_{n+1}-u_{n}=w_{n+1}+\frac{3}{2}-(w_n+\frac{3}{2})=w_{n+1}-w_n<0

Posté par
isisstruiss
re : sur les suites 27-12-04 à 17:29

...aussi décroissante...
Désolée pour l'erreur

Posté par
isisstruiss
re : sur les suites 27-12-04 à 17:35

La question 2 je comprends pas, mais pour la 3 tu peux réutiliser ma fonction w car w est une suite géométrique et je crois que tu sais calculer la même somme pour w. De là tu as S_n=u_0+u_1+...+u_n=w_0+w_1+...+w_n+n\frac{3}{2}

Posté par
isisstruiss
re : sur les suites 27-12-04 à 17:36

Ops, il y a le terme 0 dans la somme, donc il y a n+1 termes dans la somme et donc mon précédent message devrait être
?S_n=u_0+u_1+...+u_n=w_0+w_1+...+w_n+(n+1)\frac{3}{2}

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : sur les suites 27-12-04 à 18:40

2U(n+1) - Un - 3 = 0
U(n+1) = (Un + 3)/2

Supposons que 3 < Un <= 6
On a alors: 3 + 3 < Un + 3 <= 3 + 6
6 < Un + 3 <= 9
6/2 < (Un + 3)/2 <= 9/2
3 < (Un + 3)/2 <= 4,5
et donc a fortiori 3 < (Un + 3)/2 <= 6
3 < U(n+1) <= 6

Donc si  3 < Un <= 6, on a aussi  3 < U(n+1) <= 6

U(0) = 6, -> on a  3 < U(0) <= 6
Comme 3 < U(0) <= 6, on a donc aussi 3 < U(1) <= 6.
Comme 3 < U(1) <= 6, on a donc aussi 3 < U(2) <= 6.
Et ainsi de proche en proche, on a 3 < U(n) <= 6 pour tout n de N.
---
U(n+1) = (Un + 3)/2
U(n+1) - U(n) = ((U(n) + 3)/2) - U(n)
U(n+1) - U(n) = (3 - U(n))/2

Et comme 3 < U(n) <= 6 ,on a : U(n+1) - U(n) < 0
U(n+1) < U(n)
Et donc la suite Un est décroissante.
-----

La suite Un est décroissante et minorée -> La suite est convergente.

On a donc lim(n-> oo) U(n) = lim(n-> oo) U(n+1) = L

U(n+1) = (Un + 3)/2
lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) (Un + 3)/2
L = (L+3)/2
2L = L + 3
L = 3

La suite Un converge donc vers 3.
-----
Posons V(n) = U(n) -3
V(n+1) = U(n+1) - 3
V(n+1) = (U(n) + 3)/2 - 3
V(n+1) = (1/2).(U(n)-3)
V(n+1) = (1/2).V(n)
Donc Vn est une suite géométrique de raison 1/2
V(0) = U(0)-2 = 6 - 3 = 3
-> V(n) = 3.(1/2)^n

U(n) = 3 + V(n)
U(n) = 3 + 3.(1/2)^n
U(n) = 3.(1 + (1/2)^n)

Sn = 3[(n+1) + ((1/2)^(n+1) - 1)/((1/2)-1)]
Sn = 3(n+1) + 6.(1 - (1/2)^(n+1))
-----
3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3)  
= 3/V(x) + 9/V(y)
= 3/(3.(1/2)^x) + 9/(3.(1/2)^y)
= (1/(1/2)^x) + (3/(1/2)^y)
= 2^x + 3*2^y


3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3) =  2^x + 3*2^y = 2^x.(1 + 3*2^(y-x))
Supposons y-x = 1 + 3k ->

3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3) =  2^x.(1 + 3*2^(3k+1))
3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3) =  2^x.(1 + 3*2*8^(k))
3/(Ux - 3)  +  9/(Uy - 3) =  2^x.(1 +  6*8^k) devrait être divisible par 7.
(voir si il n'y en a pas d'autres).

Vérifie.
-----
Sauf distraction.  



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