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Symétrie d'une fonction et sens de variation d'une autre
Bonjour,
Voici une des deux questions que nous n'arrivons pas à résoudre pour notre DM :
"Démontrer que la fonction f admet un axe de symétrie que l'on déterminera en utilisant une formule recherchée sur la toile."
(On donne la fonction f : x 
f(x) = -2[(x-1/2)²-5/3] définie sur 
.
Voici ce que j'ai trouvé : "Soit en montrant que le symétrique de tout point de la courbe C par rapport à la droite d'équation x = a appartient encore à C :
f(a - x) = f(a + x) pour tout réel x tel que a + x et a - x appartiennent à l'ensemble de définition de Df"
Est-ce la formule à utiliser ? Si oui, comment prouver que cela fonctionne avec cette formule ?
L'autre question est la suivante : "Nous savons que la fonction u est croissante sur un intervalle I. Donner le sens de variation de la fonction v définie sur I par :
v(x) = 1/(-u(x-1) + 2)
Nous attendons vos réponses avec impatience !
pour l'axe de symétrie, prends a=1/2
montre que f(1/2+x)=f(1/2-x)
pour l'autre question, il manque des renseignements sur "u"...
l'idée est de décomposer la fct v
x donne X=x-1 donne Y=u(X)=u(x-1) donne Z=-Y+2=-u(x-1)+2 donne v(Z)=1/Z=1/(-u(x-1) + 2)
la 1ère fct est croissante, la 2ème aussi
la 3ème est décroissante et la 4ème aussi
bilan : les varriations ont changé deux, l'ordre est conservé, la fct v est croissante
à condition que -u(x-1)+2 soit de signe constant et ne s'annulle pas
Merci d'avoir répondu aussi rapidement.
Mais pourquoi prendre 1/2 pour a ?
(on essayera de résoudre ça demain, si on n'y arrive pas je reviendrais pour plus d'aide ...)
Ensuite pour u je n'ai pas plus de renseignements ... on sait juste qu'elle est croissante sur I.
Et je ne sui spas sûr de bien comprendre cette phrase :
les varriations ont changé deux, l'ordre est conservé, la fct v est croissante
Merci !
faute de frappe :
l'ordre a changé deux fois à cause des deux fonctions décroissantes donc l'ordre est conservé, la fct v est croissante
pourquoi 1/2? regarde bien et pense à la fonction carrée
f(1/2+x) = -2[(1/2+x-1/2)²-5/3]
f(1/2-x) = -2[(1/2-x-1/2)²-5/3]
Et que u soit croissante sur I ne suffit pas comme renseignement ?
En tout cas merci d'avoir un peu plus développé la réponse !
Là je vais aller me coucher et je réfléchirait bien dessus avec les copains.
Encore merci pour votre aide, ça nous sera précieux !
Merci !
ben... je doute car si x est dans I, x-1 ne l'est pas toujours, de plus, quand on inverse à la fin, il faudrait être sûr que (-u(x-1) + 2 est soit strictement positif, soit strictement négatif
Ok.
Je le dirais à ma prof qu'il manque une information.
Sinon j'ai un autre exercice, et je voudrais avoir si j'ai bien fait.
"La fonction u : x
x est définie sur +. La fonction v est définie sur ]-
; 2/3] par v(x) = -3x + 2.
On pose t = uov. Donner l'expressino de t(x). Quel est le sens de variation de la fonction t ?"
Ma réponse :
t(x) = (-3x + 2)
Sur ]- ; 2/3] v est décroissante et v(x) 
Du et u est croissante sur Du.
Donc t(x) est décroissante sur ]- ; 2/3].
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