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Si vous pouriez m'aider cela m'arrangerai
D'habitude j'aide les autres mais là, j'ai besoin de vous


On considère un triangle ABC du plan

1)a)
Déterminer et construire le point G barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}


Comme 1-1+1 0
Alors le système {(A,1),(B,-1),(C,1)} admet un seul et unique barycentre G

Donc vecteurs GA - GB + GC = 0
ou encore     GA + BG + GC = 0
d'où          GA + BC = 0

J'ai donc réussit ce point là et ai construit ce point
Je vous met tout les détails étant désespéré et afin d'avoir toutes les formules disponible

1)b)
Déterminez et construire le point G' barycentre du système {(A,1),(B,5),(C,-2)}


Comme 1+5-2 0
Alors ce système admet un seul et unique centre de gravité G'

Donc     G'A + 5 G'B + 2 CG' = 0 (A)
(A) <=>  G'A + 5 G'A + 5 AB + 2 CA + AG' = 0
(A) <=>  6 G'A + (-2 G'A) + 5 AB + 2 CB + 2 BA
(A) <=>  -4 G'A = 3 AB + 2 CB
(A) <=>  AG' = 3/4 AB + 1/2 CB

2)a)
Soit J le milieu de [AB]
Exprimez GG' et JG' en fonction de AB et AC
et en déduire l'intersection des droites (GG') et (AB)


D'après le 1)a GA + BC = 0 (B)
(B) <=>  GG' + G'A + BC = 0
(B) <=>  GG' = CB + 3/4 AB + 1/2 CB
(B) <=>  GG' = 3/2 CA + 3/2 AB + 3/4 AB
(B) <=>  GG' = 9/4 AB - 3/2 AC

Comme J milieu de [AB]
Alors AJ = 1/2 AB

D'après 1)b  AG' = 3/4 AB + 1/2 CB (C)
(C) <=>  AJ + JG' = 3/4 AB + 1/2 CB
(C) <=>  1/2 AB + JG' = 3/4 AB + 1/2 CB
(C) <=>  JG' = 1/4 AB + 1/2 CA + 1/2 AB
(C) <=>  JG' = 3/4 AB - 1/2 AC

On rappelle
   GG' = 9/4 AB - 3/2 AC
et JG' = 3/4 AB - 1/2 AC

          JG' = 3/4 AB - 1/2 AC (D)
(D) <=>   3JG' = (3*3)/4 AB - (3*1)-2 AC
or        GG' = 9/4 AB - 3/2 AC
donc      JG' = 1/3 GG'
donc J (GG')

Et comme J milieu de [AB]
ALors J appartient à (AB)

J (GG') et (AB)
Donc J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB)

2)b)
Montrer que le barycentre I du système {(B,2),(C,-1)} appartient à (GG')


Comme 2-1 0
Alors 2 IB - IC = 0 (E) d'une part

(E) <=>  2 IG + 2 GB - IG - GC = 0
(E) <=>  IG = GC - 2 GB
(E) <=>  IG = GA + AC - 2 GA - 2 AB

(GA + BC = 0 -GA = BC)

(E) <=>  IG = BC + AC - 2AB
(E) <=>  IG = BA + 2 AC - 2 AB
(E) <=>  IG = -3 AB + 2 AC

D'autre part GG' = 9/4 AB - 3/2 AC (F)
(F) <=>  GG' = 9/4 AB - 6/4 AC
(F) <=>  4 GG' = 9 AB - 6 AC
(F) <=>  4/3 GG' = 3 AB - 2 AC
(F) <=>  -4/3 GG' = -3 AB +  2 AC

Donc IG = -4/3 GG'
Donc I (GG')

3)a)
C'EST LA QUE J'AI BESOIN D'AIDE !
Soit D un point quelconque du plan
O milieu [CD]  et   K milieu [OA]
Déterminer 3 réels a,d et c tel que K soit le barycentre du système
{(A,a),(D,d),(C,c)}

J'ai essayé : O milieu [CD] CO = OD
              K milieu [OA] AK = KO

Pour tou a,d et c tels que a+d+c 0
         aKA + dKD + cKC = 0 (G)
(G) <=>  aKO + dKO + dOD + cKO + cOC = 0
(G) <=>  aKO + (d+c)KO + (d+c)OC = 0
(G) <=>  aKO + (KO+OC)(d+c) = 0
(G) <=>  aKA + (d+c)KC = 0
Et après je sais pas, j'arrive avec (a+c+d)KA = (-c-d)AC + (-a-c-d)AB
Donc si quelqu'un pourrait m'aider...

A noter "D'après Pondichéry, mai 1999" mais mes recherches sur le
Web n'ont rien donné (j'ai trouvé le sujet mais pas la correction)

Un petit message à ma classe qui ont exactement le même exercice que moi
(logique) veuillez ne pas recopier scrupuleusement et sans comprendre...
Merci