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Synthèse suites (avec algo)
Rerebonjour! Je suis coincé sur la dernière partie de cette exo (je n'ai jamais fait d'algo et ne comprend pas trop en général...), je suis aussi pas sûr du reste de mon travail (surtout le sens de variation)...
Énoncé :
Une médiathèque a ouvert début 2017 et 3 000 personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation par la suite (a _n) définie pour tout entier naturel n, où a_0=3000 est le nombre d'adhérents en 2017 et a_n le nombre d'inscrits l'année 2017 + n.
1. a. Calculer a_1 et a_2.
b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a a_n+1 = 0,75a_n + 500.
2. On pose b_n = a_n - 2000 pour tout entier naturel n.
a. Prouver que la suite (b_n) est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
b. En déduire l'expression de terme général de la suite (b_n) puis de la suite (a_n).
c. Quel est le sens de variation de chaque suite ?
d. Conjecturer les limites des suites (a_n) et (b_n). Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhésions de cette médiathèque ?
3. On propose l'algorithme suivant.
a. Que permet de calculer cet algorithme ?
b. Interpréter le résultat obtenu à la fin de cet algorithme.
Mon brouillon:
1. a)
a_1 = 0,75 × a_0 + 500 = 0,75 × 3000 + 500 = 2750
a_2 = 0,75 × a_1 + 500 = 0,75 × 2750 + 500 = 2562,5
b)
On sait que chaque année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu.
Donc le nombre d'inscrits l'année suivante est égal au nombre d'inscrits l'année précédente multiplié par 0,75 (le taux de renouvellement) plus 500 (le nombre de nouveaux adhérents).
Cela se traduit par la formule a_n+1 = 0,75a_n + 500 pour tout entier naturel n.
2. a)
On sait que a_n+1 = 0,75a_n + 500 et que b_n = a_n - 2000.
Donc :
b_n+1 = a_n+1 - 2000
= (0,75a_n + 500) - 2000
= 0,75a_n - 1500
= 0,75(a_n - 2000)
= 0,75b_n
Donc la suite (b_n) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme b_0 = a_0 - 2000 = 3000 - 2000 = 1000.
b) Pour trouver l'expression du terme général de la suite (b_n), on utilise la formule d'une suite géométrique :
b_n = b_0 × q^n
= 1000 × 0,75^n
Pour trouver l'expression du terme général de la suite (a_n), on utilise la relation entre les suites (a_n) et (b_n) :
a_n = b_n + 2000
= 1000 × 0,75^n + 2000
c) D'après la propriété, le sens de variation d'une suite géométrique va dépendre du signe de sa raison q et de son premier terme u_0.
On sait que la suite (b_n) est une suite géométrique de premier terme b_0 = 1000 > 0 et de raison q = 0,75 < 1.
Donc, la suite (b _n) est strictement décroissante.
On sait que la suite (a_n) est définie par a_n = b_n + 2000.
Donc, la suite (a _n) a le même sens de variation que la suite (b _n).
Donc, la suite (a _n) est strictement décroissante aussi.
d) La limite d'une suite géométrique dépend de sa raison q.
On sait que la suite (b_n) est une suite géométrique de raison q = 0,75 < 1.
Donc, la suite (b _n) converge vers 0.
On sait que la suite (a_n) est définie par a_n = b_n + 2000.
Donc, la suite (a _n) converge vers 2000.
Cela signifie que le nombre d'adhésions de cette médiathèque tend vers 2000 à long terme.
Et pour le 3 je ne sais vraiment pas... 
salut
quelques remarques de style :
tout d'abord le travail est propre et aéré donc 
et merci car et ça invite à te lire !!
plutôt que les "on sait que" écris des "d'après l'énoncé"
2a/ calcule d'abord b_0 puis conclus ensuite avec : donc (b_n) est la suite géo...
2b/ plutôt que "pour trouver ..." écris simplement "d'après le cours ..." et donne la formule directement avec les valeurs numériques (car c'est ce que tu dois savoir)
2c/ idem : "d'après le cours les variations de la suite géométrique (b_n) dépendent du signe de faux sa raison 0,75 et de son premier terme 1000
et même ça ne va pas je le rédigerai ainsi :
le premier terme b_0 = 1000 est positif
la raison 0,75 vérifie 0 < 0,75 < 1
donc d'après le cours cette suite est décroissante
c/ et d/ : même remarque de style
pour 3/ pourquoi ne traduis-tu pas cet algorithme sur ta calculatrice ? (et ça peut être utile au bac de savoir écrire ce type de programme)
Merci beaucoup ! La rédaction est vraiment un problème pour moi...
pour 3/ pourquoi ne traduis-tu pas cet algorithme sur ta calculatrice ? (et ça peut être utile au bac de savoir écrire ce type de programme)
Par contre, pour le trois, je n'ai vraiment jamais fait d'algorithme ou de programmation en tout genre... Je n'ai aucune idée comment m'y prendre...
tu as deux variables n et A :
que valent-elles au départ ?
que fait-on avec ?
pendant combien de temps ? (sous quelle condition)
Après un long temps de réflexion haha, j'imagine que l'algorithme permet de calculer le nombre d'années n nécessaires pour que le nombre d'inscrits A soit inférieur à 2100 ?
Et d'après ce que j'ai vu sur internet j'ai utilisé la fonction "while" sur python et j'ai trouvé A=2075.08 et n=9.
Cela signifie qu'il faut attendre 9 ans après 2017, c'est-à-dire en 2026, pour que le nombre d'inscrits soit inférieur à 2100. À la fin de l'année 2023, il y aura environ 2075 inscrits à la médiathèque ?
À la fin de l'année 2023, il y aura environ 2075 inscrits à la médiathèque ?
*de l'année 2026
c'est ça ... mais je ne vérifie pas tes résultats ...
par contre tu peux le vérifier avec le menu suite de ta calculatrice si tu ne sais pas programmer.
tu peux l'écrire ici (utilise la touche </> ci-dessous pour insérer des balises codes) et je peux le vérifier ...
Voici mon code Python:
n = 0
A = 3000
while A > 2100:
A = 0.75 * A + 500
n += 1
print("Nombre de fois que la boucle a été exécutée :", n)
print("Valeur finale de A :", A)
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