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Niveau première
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systeme avec la valeur absolue et le parametre

Posté par dwimi (invité) 12-11-07 à 12:52

bonjour
j'ai un systeme avec 3 valeurs absolues et un parametre :
(|2x-y+3|=6
(|x|+|y-1|=a
je pense que je vais le reoudre par le Raisonnement par disjoncton des cas

premierement si a=0 alors x=0 et y=1
mais dans ce cas: x et y ne vont pas realiser l'equation |2x-y+3|=6
donc dans ce cas il n'y aura pas de solution pour le systeme.

deuxiement si a>0
et si 2x-y+3=6
donc x=3/2+y/2 et y=2x-3
je vais vais tomber dans plusieurs cas, et je ne sais pas s'il faut continuer commz ça ou pas.
veuillez m'aider?

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 12-11-07 à 13:42

bonjour

envisages les cas x>0, x<0, y>1 y<1 et y<2x-3 y>2x+3

A toi

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 12-11-07 à 13:55

pour la première égalité :

si 2x-y+3 >= 0 soit y <= 2x+3 alors 2x-y+3=6 soit y = 2x-3

si 2x-y+3 <= 0 soit y >= 2x+3 alors 2x-y+3=-6 soit y = 2x+9

ainsi la première égalité donne les deux ensembles solution y=2x-3 et y=2x+9

à toi pour l'autre

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 10:54

Bonjour dwimi

Ton exo n'est pas si simple qu'il y paraît ( surtout pour un niveau première ).

Je te propose une résolution basée sur des représentations graphiques.

Tout d'abord, la première égalité :
|A| = 6 <=> A = 6 ou A = -6 donc la première équation fournit deux égalités : 2x+y+3 = 6 et 2x+y+3 = -6 soit les deux droites (D1) : y = -2x+3 (verte) ou (D2) : y = -2x-9 (mauve)

Pour la seconde équation, |x| + |y-1| = a, la somme de deux valeurs absolue ne peut être que positive ou nulle ( nulle pour le point A(0;1) ); ainsi pour a<0, cette équation n'aura aucune solution.

Envisageons alors les cas (x>0 et x<0) et (y>1 et y<1) ; on a donc le tableau suivant :

x\ y | -oo                   1                   +oo                     x\ y | -oo                  1                  +oo
-------------------------------------------------                      -----------------------------------------------
-oo |                          |                                               -oo |                         |                
       | (-x) + (1-y) = a | (-x) + (y-1) = a                             |  y = -x + 1 - a  |   y = x + 1 + a
       |                          |                                                     |                         |
    0 |-------------------------------------------                       0 |------------------------------------------
       |                          |                                                     |                         |
       |  (x) + (1-y) = a  |  (x) + (y-1) = a                             |  y = x + 1 - a   |   y = -x + 1 + a
+oo |                          |                                              +oo |                         |

Ce partitionnement montre que les segments de droite, pour a >= 0, représente un carré centré en A(0;1), de diagonale valant 2a, et dont les angles sont sur les deux droites x=0 et y=1.

Au fur et à mesure que la valeur de a croît, le carré augmente avec un côté valant a.racine(2).

systeme avec la  valeur absolue et le parametre

Pour résoudre alors le système initial, il suffit qu'analyser l'intersection de ce carré croissant avec les deux droites (D1) et (D2)

Tant que 0 <= a < 1,il n'y a pas d'intersection avec aucune droite, donc il n'y a pas de solution pour a < 1.

La première valeur de a est a=1 correspondant au point B(1;1) sur la droite (D1): pour a=1 il n'y a qu'un seul couple solution x=1 et y=1.

Quand a croît au-delà, par exemple a=2 sur le schéma ci-dessous, l'intersection avec (D1) se réduit à deux points ( ici C et C' ).

Pour 1 < a < 2, il y a deux intersections, une dans le 1er quadrant, une dans le 4ème quadrant (quadrants centrés sur A ) :
pour les déterminer, il suffit de résoudre chacun des systèmes isolément; par exemple, pour le 1er quadrant :
y = -2x+3
y = -x+a+1
fournit x = 2-a et y = 2a-1 donc le point Ca(2-a;2a-1); tu peux faire de même pour le point situé dans le 4ème quadrant

Quand a croît au-delà de 2 jusqu'à 5 exclus, 2 < a < 5, il y a deux intersections se situant dans le 2ème et 4ème quadrant

Quand a = 5, il y a 3  intersections, deux sur (D1) et une double sur (D2) au point D(-5;1)

Quand a > 5, il y a 4 intersections, deux sur (D1) dans le 2ème et 4ème quadrant, et deux sur (D2) dans le 2ème et 3ème quadrant.

--------------------

Très inhabituel et intéressant, ton exo, dwimi...en espérant ne pas avoir écrit de bétise...

Posté par dwimi (invité)re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:10

merci beaucoup pour votre générosité mikayaou.

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:16

c'était un réel plaisir de chercher ton exo, dwimi

il serait bien, cependant, que tu vérifies mes calculs ( ou qu'un(e) autre mathîlien(ne) le fasse )

C'est vraiment un exo de première ?

une première pas en France, alors ? je pencherais pour le Maroc, non ?

N'hésite pas à en poster d'autres car ils ne sont pas habituels et sont très ludiques...

Merci

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:17

au fait, sur le forum de l'île, le tutoiement est de rigueur : pas de souci pour "ta générosité"

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:20

Par ailleurs, dans ton profil, tu as indiqué 2nde et ton exo est de 1ère

ton profil serait à modifier, non ?

Posté par dwimi (invité)re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:28

ici au maroc il y a  seulement 3 années au lycée, mais chez vous je pense qu'il y a 4.
mon niveau c'est la la première année BAC ( la 2ème au lycée ) et je ne sais pas clairement son équivalent dans la France, est ce la premiere ou la terminale ?

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 11:33

ok dwimi, mon intuition était la bonne

En faisant référence à ce tableau situé là [lien] :

systeme avec la  valeur absolue et le parametre

et si je t'ai bien compris, je pense que c'est la Première en France

Il faut dire que votre niveau en maths est/semble plus élevé que celui en France... pour notre plus grand plaisir

Un coucou à Elhor si tu le connais

Posté par
mikayaou
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 15-11-07 à 17:34

personne n'a vérifié ?

Posté par
hala888
re 10-10-13 à 21:42

Bonjour !
J'ai besoin d'une explication plus détaillées svp ; j'ai pas pu bien comprendre (surtout le paramètre a)
merci d'avance

Posté par
Nijiro
re : systeme avec la valeur absolue et le parametre 22-09-19 à 15:36

Bonjour,
Je n'ai pas compris vote tableau et la conclusion qui le suit:

Citation :
Envisageons alors les cas (x>0 et x<0) et (y>1 et y<1) ; on a donc le tableau suivant :

x\ y | -oo                   1                   +oo                     x\ y | -oo                  1                  +oo
-------------------------------------------------                      -----------------------------------------------
-oo |                          |                                               -oo |                         |                
       | (-x) + (1-y) = a | (-x) + (y-1) = a                             |  y = -x + 1 - a  |   y = x + 1 + a
       |                          |                                                     |                         |
    0 |-------------------------------------------                       0 |------------------------------------------
       |                          |                                                     |                         |
       |  (x) + (1-y) = a  |  (x) + (y-1) = a                             |  y = x + 1 - a   |   y = -x + 1 + a
+oo |                          |                                              +oo |                         |

Ce partitionnement montre que les segments de droite, pour a >= 0, représente un carré centré en A(0;1), de diagonale valant 2a, et dont les angles sont sur les deux droites x=0 et y=1.

Au fur et à mesure que la valeur de a croît, le carré augmente avec un côté valant a.racine(2).

Veuillez expliquer SVP. Car j'ai le même EXO.



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