D'un point de vue géométrique, on a là une équation de plan et une équation de sphère. Le plan coupe la sphère selon un cercle dont tous les points (ou plutôt leurs coordonnées) sont solutions du système d'équations.

Oui, et comme tu as trouvé 3 points distincts de ce cercle, il est géométriquement parfaitement déterminé.

Merci de ta réponse

Je n'ais jamais vu ce qu'étais une équation de sphère

Non, si tu appelles  A, B et C les points de coordonnées respectives (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1), le cercle en question est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Les coordonnées de chacun des points de ce cercle constituent un trio solution du système.

Bonsoir,
A priori ,c'est l'intersection d'un plan et d'une sphère (soit un cercle...)
On pourrait poser x=rcosu et y=rsinu,trouver r en fonction de u ,etc...

Bonjour

une solution algébrique (mais la solution géométrique, qui permet de donner centre et rayon du cercle solution, est à mon avis préférable):

si x+y+z = 1, alors (x+y+z)² aussi vaut 1
or (x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+yz+zx)
comme x²+y²+z² = 1, on a forcément xy+yz+zx = 0, donc xy = -z(x+y)
or x + y+ z = 1 donc x + y = 1 - z, donc xy = -z(1-z) = z²-z

résumons : la somme de x et y est 1 - z, le produit de x par y est z²-z

x et y sont donc les solutions de X² -(1-z)X +z²-z = 0, lorsqu'elles existent, c'est à dire si (1-z)²-4(z²-z) est positif : ceci permet d'exprimer les triplets (x,y,z) solutions en fonction de z seul, avec les conditions sur z pour qu'elles existent

restera à tester les solutions trouvées : on a procédé par implications

Bonjour,

à noter que "des réels ≥ 0" implique que seuls conviennent les points du cercle circonscrit qui sont "à l'intérieur", côtés et sommets inclus, du triangle

ça fait finalement pas beaucoup ...

Bonsoir
Tout d'abord je tiens à vous remercier de toutes vos réponse. Cependant je reviens sur cet exercice(qui est conseillé par mon professeur pour un DS de la rentré mais qui est l'exercice le plus dur de sa liste...)

J'avoue de ne pas avoir bien compris tous que cela soit la résolution géographique ou algébrique.

Et petite question je ne comprend pas pourquoi la solution géométrique résout cette exercice.

Merci de votre aide.

pour la géométrie : x²+y²+z² = 1 est une équation de la sphère de rayon 1 et de centre l'origine du repère, puisqu'elle traduit OM² = 1, donc OM = 1 : lieu des points qui sont à la distance 1 de l'origine
x+y+z = 1 est une équation d'un plan, qui passe par exemple par les trois points que tu as cités, qui est perpendiculaire à la droite D passant par O et dirigée par le vecteur u de coordonnées (1,1,1)

un plan peut ne pas couper une sphère, ou la "frôler" : être tangent donc la couper en un unique point, ou la couper en un cercle

pour savoir, il faut comparer la distance entre le centre de la sphère et le plan avec le rayon de la sphère

le point H de la droite D qui est aussi dans le plan vérifie x + y + z = 1 et x = y = z (car M est dans D ssi vecteur (OM) = k.u, c'est à dire (x,y,z) = (k,k,k)). on doit donc avoir 3x = 1 donc x = 1/3 donc H(1/3;1/3;1/3)
la distance entre O et le plan est la distance OH (H est le projeté orthogonal de O sur le plan, vu que D est perpendiculaire au plan) or OH = racine ((1/9)+(1/9)+(1/9)) = racine(3) / 3 : c'est plus petit que 1, donc le plan coupe la sphère
le cercle d'intersection aura justement H comme centre, et tu peux trouver son rayon par le th de Pythagore dans un triangle OHM, avec M quelconque sur le cercle

Merci de ta réponse détaillé et très précise

Cependant je n'ai pas encore vu à mon stade ce qu'est une équation de droite(j'ai placé les point dans un repère en 3 dimension et mis une sphère par "instinct" pour voir si cela donnerait quelque chose d'intéressant)

Sans connaître ce qu'est une équation de sphère je peux résoudre cela géométriquement?

A noter, que, comme l'a fait remarquer mathafou, si on se borne aux seules valeurs positives ou nulles pour le triplet (x,y,z) (ce que dit l'énoncé et que je n'avais pas vu...), les trois seules solutions possibles sont les trois, données dès le début par Bacon (sommets du triangle ABC).

Mais pour le "voir" simplement, il faut avoir fait l'étude géométrique, décrite ci-avant.

Merci de ta réponse larrech. Je vais étudier cela

Je voulais revenir sur ma dernière réponse où je disais que je n'avais pas vu les équation de droite mais je voulais plutôt parlé des équation des sphères(j'ai vu brièvement les équation des cercles dans un exercice)

Excusez moi de ma maladresse

tu es d'accord que les points d'une sphère sont tous à la même distance du centre ? tu sais calculer la longueur OM? alors tu sais écrire une équation des sphères de centre O

Car comme j'avais x,y,z cela m'a fais pensé au plan en 3 dimensions et ce n'est qu'en "bidouillant" géogébra(de base j'avais juste relier les trois points A,B et C entre eux mais après quelque vérification je trouvé que c'étais bête et ce qui ma conforté dans l'idée de vous présenter une sphère est que sur géogébra il était indiqué x²+y²+z²=1 donc cela me semblé plausible)

dans le plan la distance d entre deux points (cas particulier l'origine et un point quelconque M(x; y)) est d² = x² + y² (cours)
ça se prouve par Pythagore
d'où l'équation du cercle de centre O et de rayon 1 : x²+y² = 1
(de façon générale (x-a)² + (y-b)² = R² est l'équation du cercle de centre (a; b) et de rayon R

dans l'espace avec 3 coordonnées la distance entre l'origine et un point M (x; y; z) est d² = x² + y²+z²
ça se prouve par deux fois Pythagore.
d'où l'équation d'une sphère de centre O et de rayon 1 : x² + y² + z² = 1
(et l'équation générale d'une sphère (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² = R², de centre (a;b;c) et de rayon R)

pareil pour les plans :
dans le plan une droite est ax + by = c
dans l'espace un plan est ax + by + cz = d

mais bien entendu il n'est pas indispensable de visualiser ça comme intersections dans l'espace !
juste que c'est énormément plus commode que de façon "purement algébrique"