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Système d'équations somme/produit

Posté par
Maryne60 02-11-09 à 14:16

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour cet exercice :

Résoudre les 4 systèmes suivants :

(1)   {x-y=9 et xy=90

(2)   {x-y=15 et x²+y²=117

(3)   {x+y=3 et 1/x + 1/y = -1/6

(4)   {xy=-3 et 4(x²+y²)=25

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider .

Posté par
Maryne60Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 14:43

J'en suis à ma troisième page de brouillon et j'suis bloquée partout
J'y arrive pas, aidez-moi s'il vous plait..

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 15:14

Bonjour, Maryne

la méthode par substitution ma semble la plus simple.
1)
\{{x-y=9\atop xy=90}

\{{x=9+y\atop xy=90}

\{{x=9+y\atop (9+y)y=90}

\{{x=9+y\atop y^2+9y-90=0}

y^2+9y-90=0
=b^2-4ac=441=21^2
y_1=-15     y_2=6

Pour y_1=-15  x_1=9-15=-6

Pour y_2=6  x_2=9+6=15

Tu obtiens donc 2 couples solutions: (-6;-15)  ou  (15;6)

Pour les autres exercices le raisonnement est à peu près identique

Posté par
Maryne60Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 16:59

Merci beaucoup, je cherchais compliqué alors que c'était tout simple...
Mais j'arrive pas à faire la (3) et la (4) ...

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 17:11

3)
3$\{{x+y=3\atop \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}}

3$\{{x=3-y\atop \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}}

3$\{{x=3-y\atop \frac{1}{3-y}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}}
avec y0 et y3

\frac{1}{3-y}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}

\frac{1}{3-y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6}=0
Tu réduis au même dénominateur:

\frac{6y+6(3-y)+[y(3-y)]}{6y(3-y)}=0

Continue développe, simplifie...

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 17:25

Pour le 4)

3$\{{xy=-3\atop 4(x^2+y^2)=25}

3$\{{x=-\frac{3}{y}\atop 4(x^2+y^2)=25}
avec y0

3$\{{x=-\frac{3}{y}\atop 4((-\frac{3}{y})^2+y^2)=25}

3$\{{x=-\frac{3}{y}\atop 4(\frac{9}{y^2}+y^2)=25}

4(\frac{9}{y^2}+y^2)-25=0

\frac{36}{y^2}+4y^2-25=0
On réduit au même dénominateur:

\frac{36+4y^4-25y^2}{y^2}=0

4y^4-25y^2+36=0

Tu poses Y=y^2

4Y^2-25Y+36=0

Continue...

Posté par
Maryne60Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 17:26

J'arrive à (-y²+3y+18)/(-6y²+18y) , j'peux plus simplifier là ?

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 17:32

pour le 3)

le dénominateur ne peut être égal à 0 donc:
6y+6(3-y)+[y(3-y)]=0
-y²+3y+18=0

Posté par
Maryne60Système d'équations 02-11-09 à 17:40

Pour le 4) j'comprends pas pourquoi le y² au dénominateur il disparait à un moment ..

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 18:05

Citation :
Pour le 4) j'comprends pas pourquoi le y² au dénominateur il disparait à un moment ..

C'est comme pour le 3)
Quant tu as: \frac{x}{y}=0
Le dénominateur ne pouvant être égal à 0 alors x=0

Donc:
\frac{36+4y^4-25y^2}{y^2}=0

4y^4-25y^2+36=0

Tu dois juste tenir compte par la suite des valeurs interdites ici y0

Posté par
Maryne60Système d'équations 02-11-09 à 18:12

Ah d'accoord merci beaucoup
Par contre, c'est normal que pour le (4), je trouve 4 solutions pour x et 4 solutions pour y ?

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 18:27

Que trouves-tu comme résultats pour 3) et 4)?

Posté par
Maryne60Système d'équations 02-11-09 à 18:37

Pour le (3) :

S = {(-3;6);(6;-3)}

Pour le (4) :

S= {(-3/V18/8 ; V18/8); (3/V18/8 ; -V18/8) ; (-1.5;2) ; (1.5;-2)}

Posté par
pacoure : Système d'équations somme/produit 02-11-09 à 19:14

pour le 4)

Citation :
S= {(-3/V18/8 ; V18/8); (3/V18/8 ; -V18/8) ; (-1.5;2) ; (1.5;-2)}

D'abord on simplifie:
Tu obtiens :
Y_1=18/8=9/4 d'où y_1=3/2  ou  y'_1=-3/2  
Y_2=4 d'où  y_2=2  ou  y'_2=-2

or x=-\frac{3}{y}
pour y_1=3/2  x=-\frac{3}{\frac{3}{2}}=-3\times {\frac{2}{3}}=-2
....


Tu as donc 4 couples solutions (x=-2;y=3/2) ; (x=2;y=-3/2) ; (x=-3/2;y=2)  et (x=3/2;y=-2)

Posté par
Maryne60Système d'équations 02-11-09 à 19:45

Merciii pour tout


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