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Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler

Posté par
sk96
21-06-13 à 00:57

Bonjour/Bonsoir

J'ai bon essayé à résoudre cet exercice mais je n'arrive pas à le résoudre comme il faut.

Votre aide sera très utile.

L'exercice est le suivant:
Une femme allait vendre des œufs au marché. En route, un homme survint et fit tomber son panier, cassant les œufs qu'il fut aussi contraint de payer. Mais la femme ne savait pas combien d'œufs contenait le panier. Tout ce qu'elle savait c'est qu'en les comptants 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4, 5 à 5, et 6 à 6, il lui restait toujours un œuf. Mais en le comptant 7 à 7, il ne lui restait rien. Combien d'œufs l'homme doit-il payer?

J'ai pensé à utiliser la méthode de Gausse mais je n'ai pas trouvé un nombre spécifique d'inconnues ou bien un système. C'est pourquoi j'ai fait la méthode suivante:

Soit x le nombre d'œufs

Si elle les compte 2 a 2  x/2 = y, 5 tel que y est un entier ...
Si elle les compte 3 a 3  x/3 = z, 333  tel que z est un entier ...
Si elle les compte 4 a 4  x/4 = k, 25  tel que k est un .....
Si elle les compte 5 a 5  x/5 = r, 2   tel que ....
Si elle les compte 6 a 6  x/6 = p, 16666 tel que ....
Si elle les compte 7 a 7  x/7 = f  tel que .....

Apres un long calcul j'ai trouvé que x= 301

Mais je ne suis pas convaincue par cette méthode la car elle nécessite beaucoup de temps et elle ne suit pas une certaine loi

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
mathafou Moderateur
re : Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler 21-06-13 à 01:42

Bonsoir,

la méthode n'est certainement pas d'écrire des nombres avec partie fractionnaire !!! ni d'écrire des systèmes de un tas d'équations à un tas d'inconnues !
on est avec des nombres entiers et tous les calculs se font avec des nombres entiers et rien d'autre que des nombres entiers.

la première partie (il lui en reste 1 à chaque fois) est du niveau collège, sans aucune équation ni rien d'autre que la définition du PPCM : imagine qu'elle en aie un de moins
alors combien lui en resterait-il à chaque fois ?
donc elle a un nombre d'oeufs qui est un multiple de [...] + 1

maintenant on rajoute la division par 7 qui tombe juste, donc ce multiple de [...] + 1 est aussi un multiple de 7
tu as une équation [...]x + 1 = 7y, x, y entiers, qui se résoud par l'algorithme d'Euclide, but du cours sans doute.
au pire tu essayes les multiples de [...] + 1 un par un
et au pire tu en auras 7 à essayer

Posté par
sk96
re : Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler 21-06-13 à 02:24

Bonsoir

Merci pour votre aide

concernant l'algorithme d'Euclide je ne l'ai jamais vue et le cours ne comporte rien de ce que vous venez de parler car celui ci évoque la méthode de Gausse seulement

Je vais chercher sur l'algorithme d'Euclide et vous reparler....

Merci beaucoup

Posté par
sk96
re : Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler 30-06-13 à 23:39

Bonsoir, dessolée de vous déranger mais le problème est que je n'es pas trouver une solution pour l'exercice jusqu'à maintenant  et je n'es pas su comment utiliser l'algorithme d'Euclide
Pouvez-vous s'il vous plait me donner un peu  plus de détails
Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler 01-07-13 à 00:45

Bonsoir,

on s'en fiche de l'algorithme d'Euclide et de ces complications. as tu lu (= cherché à comprendre) mon post jusqu'au bout ??
à défaut d'algorithme d'Euclide tu as au plus 7 valeurs à "essayer" !

La première partie (quand il ne lui en reste qu'un à chaque fois) donne que le nombre d'oeufs est un multiple de [...], plus 1 oeuf.
as tu au moins cherché à comprendre ce que j'ai dit : aucun algorithme ni calcul compliqué là dedans !!, ni de résolution de quelque système d'équation que ce soit, ni de méthode de Gauss ou qui que ce soit. c'est niveau collège et la définition du PPCM (plus petit commun multiple)
par quoi remplacer mes [...] ?
fais déja ça !!

un exemple du même tabac :
en les prenant par 15 il lui en reste 7
en les prenant par 18 il lui en reste aussi 7
par conséquent en mettant ces 7 oeufs là de côté dès le départ, il ne lui en resterait pas !
donc ce nombre d'oeufs là (une fois oté les 7) est un multiple de 15 et de 18
c'est donc un multiple de leur PPCM qui est 90 (réviser le PPCM à cette occasion)
le nombre d'oeufs est donc 90k + 7

supposons maintenant que en les divisant par 11 il ne lui en reste aucun,
le nombre d'oeufs est un multiple de 11 : 11n
il faut donc maintenant résoudre en nombres entiers l'équation
90k + 7 = 11n

c'est là qu'intervient au choix
- l'algorithme d'Euclide

- les congruences

- l'astuce et les substitutions par changement d'inconnues :
90 = 88 + 2
90k + 7 = 11n s'écrit 88k + 2k + 7 = 11n soit 11*8k + 2k + 7 = 11n
soit 2k + 7 = 11(n-8k) et en posant m = n - 8k : 2k + 7 = 11m
équation "plus simple", et on continue comme ça jusqu'à obtenir une équation "évidente" à résoudre
(cela revient à l'algorithme d'Euclide sans le dire)

- l'essai par force brute en essayant toutes les valeurs de k une par une de k = 1 à k = 11 (et ça suffit, que 11 valeurs à tester !!)
ici on trouve que la plus petite solution (la plus petite valeur de n) est
k = 1 : 97 pas multiple de 11
k = 2 : 187 est multiple de 11 bingo, fini elle a 187 oeufs
vérifications :
187 divisé par 15 = 12, reste 7
187 divisé par 18 = 10, reste 7
187 divisé par 11 = 17 reste rien.
c'est bien la plus petite solution car toutes les valeurs de k de la forme 11p+2 donnent une solution.
toutes les solutions sont donc 90(11p+2)+7 = 187 + 990p pour toute valeur entière de p la plus petite étant p = 0.

tu fais exactement pareil pour ton problème avec ses propres données.

Posté par
sk96
re : Systeme lineaire: un exercice d'apres Euler 22-07-13 à 13:29

Merci beaucoup



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