Bonjour,

Puisque A et B appartiennent à la parabole P, on a :

y_A=x²_A

et

y_B=x²_B

1) I est le milieu de AB

donc , x_I=(x_A+x_B)/2

de même y_I=(y_A+y_B)/2

càd y_I=(x²_A+x²_B)/2

2)Pour trouver f'(x_A), il faut calculer la limite quand x tend vers a de : (f(x)-f(x_A))/(x-x_A)

A toi de faire le calcul et de trouver que f'(x_A)=2x_A

Montre de même que f'(x_B)=2x_B

Une droite passant par le point M a pour équation générale y=m(x-x_M)+p.

Une tangente à une courbe pour le point d'abscisse xA a pour équation y=f'(xA)(x-xA)+p

Dans notre cas précis, A appartient à la fois à la courbe P et à la tangente T_A

donc y=y_A=x²_A

d'où x²_A=2x_A(x_A-x_A)+p_A

càd p_A=x²_A

L'équation de la tangente à P en A appelée T_A est donc :

y=2x_A*(x-x_A)+x²_A

De même pour la tangente T_B

y=2x_B*(x-x_B)+x²_B

Puisque J appartient aux 2 tangentes, yJ peut s'écrire de 2 façons :

y_J=2x_A*(x_J-x_A)+x²_A pour T_A

et

y_J=2x_B*(x_J-x_B)+x²_B pour T_B

En faisant l'égalité entre les 2 seconds membres, on va pouvoir d'abord déterminer x_J

A toi d'arriver à x_J=(x_A+x_B)/2

Tu dois trouver dans ce cas que y_J=x_A*x_B

3) I et J ont les mêmes abscisses : ils appartiennent à la même droite verticale d'équation x=x_I

4) Puisque M est le milieu de IJ , on a donc :

x_M=(x_I+x_J)/2

de même y_M=(y_I+y_J)/2

ce qui signifie que

x_M=(x_I+x_I)/2

soit x_M=x_I=(x_A+x_B)/2

M en tant que milieu de IJ appartient bien à la même droite verticale

Maintenant calculons y_M

y_M=((x²_A+x²_B)/2)+x_A*x_B)/2

soit encore :

y_M=(x²_A+x²_B+2*x_A*x_B)/4

Au numérateur, on reconnais une identité remarquable si bien que :

y_M=(x_A+x_B)²/4

ce qui s'écrit aussi

y_M=(x_A+x_B)/2)²

soit y_M=x²_M

ce qui signifie que M appartient à la parabole P

Dans ces conditions la tangente T_M a pour vecteur directeur de coordonnées (1;f'(x_M)

càd (1;2*x_M)

soit encore (1;x_A+x_B)

Pour que T_M et la droite AB soient parrallèles, il faut montrer que les vecteurs et sont colinéaires

càd par exemple =

Calculons les coordonnées de

soit (x_B-x_A;x²_B-x²_A)

càd (x_B-x_A;(x_B-x_A)*(x_B+x_A))

soit encore (x_B-x_A)*(1;x_B+x_A)

ce qui correspond à (x_B-x_A)*[/smb]

en conclusion, =(x_B-x_A)

Les droites AB et T_M sont donc parallèles

Voilà, j'ait fait l'exercice quasiment dans sa totalité.
A toi de le compléter et d'essayer d'en faire d'autres de même nature pour être sûr d'avoir bien compris

Bon courage

Merci beaucoup pour ton aide je vais maintenant essayer de mieux comprendre c'est déjà plus claire dans mon esprit.
joyeux noel! et bonne année!

voila je ne comprends pas la fin de la question 2, je n'aarive pas a obtenir Xj comment doit on les rassembler? merci de me rép
merci
et bonne année

salut
je te propose une explication de texte

revelli a ecris :

"yJ=2xA*(xJ-xA)+x2A pour TA

et

yJ=2xB*(xJ-xB)+x2B pour TB"

donc les coordonnees de J verifient le systeme suivant de deux equations a deux inconnues yJ et xJ

on prend (1) yJ=2xA*(xJ-xA)+x2A
et (2) yJ=2xB*(xJ-xB)+x2B

d'apres (1) et (2) on a 2xB*(xJ-xB)+x2B=2xA*(xJ-xA)+x2A
on developpe :
2xB*xJ-2xB^2+xB^2=2xA*xJ-2xA^2+xA^2
ce qui donne :
2xB*xJ-xB^2=2xA*xJ-xA^2
mais on veut xJ.

donc 2*xJ*(xB-xA)=xB^2-xA^2

or xB^2-xA^2=(xB+xA)*(xB-xA)
donc 2*xJ*(xB-xA)=(xB+xA)*(xB-xA) (3)

a t on xB=xA ?
si xB=xA comme A et B sont sur P, yB=yA (car P est la presentation d'une fonction)
donc xB=xA et yB=yA => A=B ce qui ne peut etre possible car A et B sont distincts (c'est marqué dans l'enoncé)

donc xB different de xA.
donc on le nombre 1/(xB-xA) existe et on peut multiplier chaque membre de l'egalite (3) par 1/(xB-xA) et simplifier :

2*xJ=xA+xB
donc xJ=(xA+xB)/2

on remplace cette valeur trouvée dans (1)
yJ=2xA*([(xA+xB)/2]-xA)+x2A=2xA*(xB-xA)/2+xA^2
on developpe :
yJ=2*xA*xB/2-2*xA*xA/2+xA^2
on simplifie :
yJ=xA*xB

SOLUTION : J((xA+xB)/2,xA*xB)

voila.

merci bcp je vais faire la suite de l'exercice, mais normalemnt je pense avoir tout compris!
merci