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Tangentes parallèles à une courbe
Bonjour/Bonsoir,
Voici le DM que j'ai à faire durant ces vacances, pouvez vous répondre à mes questions et corriger mes erreurs ?
Merci beaucoup.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =x3 - 2x2 + 3x + 1 de courbe représentative Cf et la droite D d'équation y = 2x - 1
On cherche à déterminer les points de la courbe Cf, où la tangente est parallèle à D.
Questions Va piano
1. Sur la calculatrice, tracer Cf et D puis conjecturer le nombre de tangentes à Cf parallèles à D.
Je ne sais pas comment trouver cela sur la calculatrice numworks mais je dois normalement en trouver deux grâce aux prochains exercices.
2. En utilisant un tableau de valeurs du nombre dérivé de f, en différentes abscisses, obtenu avec une calculatrice, confirmer la conjecture.
Je n'ai pas trouvé.
3. On admet que f'(1)=2.
Déterminer l'équation d'une tangente parallèle à D.
y=f'(1)(x-1)+f(1) où f(1)=1-2+3+1=3
y=2(x-1)+3
Questions Moderato
1. Même question que la première de Va piano.
2. 2. On admet que pour tout a réel, on a :
f'(a) = 3a2-4a + 3.
Déterminer le nombre de tangentes à Cf, parallèles à D.
y=2x-1 donc f'(a)=2
Résolvons l'équation :
3a2-4a + 3 = 2
3a2-4a + 1 = 0
= b2 - 4ac
= 42 - 12
= 4
> 0 donc il y a deux tangentes :
(-b+
)/2a = (-4+2)/6 = -1/3
et
(-b-)/2a = (-4-2)/6 =-1
Cela montre le résultat que je devrais trouver au premier exercice sur la calculatrice si cela est juste
3. Calculer f'(1) et déterminer l'équation d'une tangente parallèle à D.
A l'aide de l'exercice précédent, je peux trouver
f'(1)=3-4+3 = 2
donc y = f'(a)(x-a)+f(a) = 2(x-1)+3
Questions Allegro
C'est à partir d'ici que j'ai plus de mal.
1. Soit a un nombre réel.
Déterminer le taux de variation de f entre a et a+h pour h un nombre non nul.
(f(a+h)+f(a))/h
je trouve :
f(a+h)= a3 + h3 - 2a2 + 2h2 + 3a2h + 4a + 4h
f(a)=a2 - 2a2 +3a +&
Donc (f(a+h)+f(a))/h = (2a3 + h3 + 2h2 + 3a2h + 7a + 4h + 1) / h
2. En déduire le nombre dérivé de f en a réel.
Je ne sais pas quelle formule utiliser
3. Déterminer le nombre de tangentes à Cf parallèles à D et l'abscisse des points répondant au problème.
Je ne comprends pas comment on calcul cela.
4. Donner les équations réduites de ces tangentes.
Je n'ai pas les solutions des exercices précédents.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour
Connaissez-vous cette calculatrice ?
on devrait obtenir cela, c'est insuffisant pour conjecturer le nombre de solutions
C'est plus facile avec GeoGebra ou sine qua non.
Vu l'écart entre les valeurs, on a tout intérêt à résoudre le problème d'abord
deux droites parallèles même coeff directeur
résolution ou
On peut remarquer que 1 est solution l'autre étant
donc
Pas besoin de recalculer on sait que cela vaut
.
tangente On est bien d'accord
En effet, j'ai cette calculatrice depuis octobre et j'ai donc quelques lacunes. J'avais tout de même essayé quelque chose et j'ai obtenu le même résultat que vous mais je trouvais cela étrange alors j'ai préféré l'enlever.
Cependant je ne sais pas utiliser GeoGebra, je vais essayer de me renseigner dessus.
Merci pour la correction de mes erreurs et vos conseils je vais retravailler mes calculs demain.
Pour le graphique, il faut jouer avec les axes. De toute façon, c'est quasi illisible tellement les points sont rapprochés
le graphique avec sine qua non que je trouve plus pratique pour des axes non orthonormés
En rouge, la droite donnée, les tangentes en bleu et vert
Comme vous pouvez le constater, c'est peu visible et la surface est nettement plus grande que l'écran de la calculatrice.
le taux de variation entre et
est
pour avoir le nombre dérivé, vous prenez dans l'expression trouvée pour le taux
Vous écrivez que ce nombre dérivé est égal à 2.
Dans la partie moderato on ne demandait pas les valeurs, juste le nombre
Second degré et d'où le nombre.
Bonjour,
Grâce à vos conseils j'ai pu améliorer mes réponses.
Le premier exercice demande le nombre de tangentes ce qui est fait. Le deuxième demande de confirmer la conjecture grâce au tableau. Je ne vois pas comment il le démontre. Voici le tableau que je trouve plus bas :
Voici ma résolution de (f(a+h)-f(a))/h :
f(a+h) = (a+h)(a2 + 2ah + h2) - 2(a2 + 2ah + h2) + 3a + 3h + 1
f(a+h) = a3 + h3 + 3a2h + 3ah2 - 2a2 - 2h2 - 4ah +3a + 3h +1
f(a) = a3 - 2a2 + 3a + 1
(f(a+h)-f(a))/h = (a3 + h3 + 3a2h + 3ah2 - 2a2 - 2h2 - 4ah +3a + 3h +1 - (a3 - 2a2 + 3a + 1))/h
(f(a+h)-f(a))/h = (a3 + h3 + 3a2h + 3ah2 - 2a2 - 2h2 - 4ah +3a + 3h +1 - a3 + 2a2 - 3a - 1)/h
(f(a+h)-f(a))/h = (h3 + 3a2h + 3ah2 - 2h2 - 4ah + 3h )/h
(f(a+h)-f(a))/h = (h(h2 + 3a2 + 3ah - 2h - 4a + 3 )/h
(f(a+h)-f(a))/h = h2 + 3a2 + 3ah - 2h - 4a + 3
Le tableau 1 vous montre qu'il y a au moins un point pour lequel la
tangente est parallèle à la droite d'équation y=2x-1. Vous pouvez lire
dans le tableau que pour x=1, on a cela fait donc au
moins une valeur . Pour avoir l'autre, il faudrait recommencer le tableau
avec un pas de 0,05. En regardant les valeurs pour 0,30 et 0,35, vous
pouvez dire qu'il y en a sûrement une entre les deux. Certes, vous ne
pourrez donner la valeur, mais avoir son existence. Conclusion 2 points
On considère on a donc
Ce qui pourrait justifier d'ordonner le polynôme selon les puissances décroissantes de h.
d'accord
3) cf. question 2 moderato
4) cf. va piano pour l'une, il faudrait d'ailleurs simplifier.
Il reste à déterminer l'autre.
Je ne comprends pas comment vous arrivez à ce résultat final. Même en utilisant l'aide que vous aviez envoyé hier à 18:02 je trouve mon résultat.
Quel est le problème, on a bien le même résultat.
le votre
en changeant l'ordre
en mettant en facteur dans
C'est ce que j'avais trouvé.
J'ai fait* 
La suite est ce que j'avais fait en trop sur le Moderato.
4. L'abscisse des points sont 1 et 1/3
3. Nous avons déjà fait l'équation réduite de 1 plusieurs fois.
Pour 1/3 :
f(1/3) = 43/27
f'(1/3) = 2
donc l'équation est 2(x - 1/3) + 43/27
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