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td suite de récurrence
bonjour à tous
j'ai de grandes difficultés en ce qui concerne les suites je sollicite donc votre aide
Soit (Un) la suite définie par le réel u0=5 et la relation de récurrence Un+1=2/Un+1
on note f la fonction définie sur )0;+l'infini par f(x)=2/x +1, C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal et D la droite d'équation y=x
1_ Tracer la courbe C et la droite D en prenant 2cm pour unité graphique
je l'ai déjà fait j'obbtient comme points d'intersection(-1;-1) et (2;2)
je dois trouver les coordonnées des points d'intersection par le calcul j'ai donc pensé à utiliser l'équation 2/x+1=0 mais je ne suis pa sûr
j'ai représenté les premiers termes de la suite sur mon graphique et je trouve que la suite converge entre 1 et 3 c'est une conjecture
2_ je dois démontrer que si 7/5
x5 alors 7/5f(x)5
je dois en déduire que la suite (Un) est définie, pour tout entier n, et qu'elle est bornée par 7/5 et 5.Est-elle monotone ?justifier
je me suis arrêter là je réfléchis encore sur la suite du TD
MERCI d'avance pour votre aide
Bonjour,
D'abord une précision sur la définition de la suite : c'est U(n+1) = 2/(U(n)+1) ? (Sans les parenthèses on ne peut pas savoir si n+1 est l'indice ou bien si on additionne 1 à Un).
Et la fonction c'est 2/(x+1) ?
Pour la question 1, tu veux les points d'intersection de la courbe et de la droite ; tu veux donc savoir quand la courbe et la droite se rencontrent, c'est à dire quand 2/(x+1) = x. Arrives-tu à résoudre ça ?
Pour la conjecture sur la convergence de la suite, peux-tu donner la valeur précise vers laquelle tu as l'impression que la suite converge ?
BA
merci c'est bien ce que je trouve sur mon graphique
pour les points d'intersection je pense que l'équation est (2/x)+1=x
mais je n'arrive pas à la résoudre
Pour moi c'est x²+x+2 pasque lorsque je résoud je trouve comme solution -1 et 2 et cela correspond aux abscisses des points d'intersections que j'ai trouvé sur mon graphique
le polynôme est -x²+x+2 désolé je calcule le discriminant 1²-(4*(-1)*2) il est donc égale à 9
la premiere racine est égale à 2 et l'autre à -1
pour la question 2 je pense que je vais utiliser la dérivée de F(x) qui est égale à -2/x² ainsi je prouve qu'elle est négative et que la fonction f est donc décroissante
pour démontrer l'encadrement je ne sais pas trop
L'encadrement tu peux le trouver directement. Pars de , puis encadre 2/x, puis f(x).
En disant que la fonction est décroissante, tu penses déduire que la suite est monotone ? Attention, regarde bien la figure de Jamo...
7/5 <= x <= 5
1/5 <= 1/x <= 5/7 (car la fonction 1/x est décroissante)
2/5 <= 2/x <= 10/7
2/5 + 1 <= 2/x + 1 <= 10/7 + 1
7/5 <= f(x) <= 17/7
7/5 <= f(x) <= 5
je dois ensuite prouver que vn=(valeur absolue de un-2)/(5/7)exposant n; est strictement décroissante
j'ai établis le raisonnement suivant
valeur absolue de un-2 est tourjours positif
5/7 est superieur à 0 donc positif (5/7)exposant n est tourjours positif également car n est supérieur à 0
on sait que 5/7 est compris entre 0 et 1 donc 5/7exposant n est alors décroissant si on considère 5/7exposant n comme une suite
je ne suis pas du tout sûr
POur montrer qu'une suite Un est croissante ou décroissante :
1) On étudie Un+1 - Un et on compare à 0
2) On étudie Un+1/Un et on compare à 1 (valable si les termes de la suite sont positifs, ce qui est le cas ici)
auparavant j'ai dû prouvé que un+1-2=(2-un)/un ensuite que valeur absolue de (un+1-2) était inferieur à 5/7de valeur absolue de un-2
en appliquant ton raisonnement j'ai fait vn+1/vn j'ai établis un calcul que je n'arrive pas du tout a résoudre
vn+1/vn= un+1-2/(5/7)exposant n * (5/7)exposant n / valeur absolue de un-2 je trouve un résultat qu'on ne peut pas comparer à 1
Il aurait été mieux que tu donnes ton énoncé complet, sinon je ne peux pas trop t'expliquer comme ça ...
Car la question où tu as prouvé que Un+1-2=(2-Un)/Un me semble trés interessante ...
la suite de l'énoncé est
3_ démontrer que pour tout entier n, Un+1-2=(2-un)/un, puis que valeur absolue de un+1-25/7de valeur absolue de un-2
en déduire que la suite (vn) définie, pour tout entier par vn=(valeur absolue un-2)/(5/7)exposant n est décroissante
en comparant vn et vo,établir que valeur absolue de un-23*(5/7)exposant n
démontrer que la suite (un) est convergente et préciser sa limite
démontrer que la suite (wn) définie pour tout entier n par wn=(un-2)/(un+1) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial
exprimer un en fonction de wn puis établir que un=4+((-1/2)exposant n)/2-((-1/2)exposant n)
pour tout entier n
utiliser le résultat précédent pour retrouver le fait que la suite (un)converge vers 2
pratiquement tout à part exprimer un en fonction de wn
auparavant pour prouver que vn est décroissante j'ai fini par trouvé vn+1/vn égale à 1/valeur absolue de un j'ai donc dis que c'est inferieur à 1 et que vn est donc décroissante .
wn = (un - 2)/(un + 1) avec un+1 = 2/un + 1
wn+1 = (un+1 - 2)/(un+1 + 1)
wn+1 = (2/un + 1 - 2)/(2/un + 1 + 1)
wn+1 = (2/un -1)/(2/un + 2)
wn+1 = (2-un)/(2+2un)
wn+1 = -(un - 2)/[2*(un + 1)]
wn+1 = -wn/2
et voilà ! 
On vient de démontrer que Wn est une suite géométrique, donc tu peux exprimer Wn en fonction de n.
Ensuite, tu connais Wn en fonction de Un, donc tu peux exprimer Un en fonction de Wn.
Et tu auras finalement Un en fonction de n ...
wn = (un - 2)/(un + 1)
wn*(un + 1) = (un - 2)
wn*un + wn - un = -2
un*(wn - 1) = -2 - wn
un = (-2 - wn)/(wn - 1)
un = (2 + wn)/(1 - wn)
Qu'appelles tu "ta logique" ?
Désolé je me suis mal exprimé
mon professeur ne developpe pas tout comme tu viens de le faire il dit tout simplement que si wn=un-2/un+1 alors on peut trouvé un=wn+2/wn-1
j'ai vu qu'il avait fais cela dans quelques exercices il inverse les signes et le nom des suites
Ben c'est pas main de sa part ...
Jamais je ne me permettrai de donner ça à mes élèves sans leur expliquer un peu pourquoi...
comme nous sommes en première S d'après lui nous sommes capable de trouvé le raisonnement tout seul
il ne prend pas en compte le niveau plus faible de certain élèves dont je fais partis biensûr
Pardon, je voulais dire que c'est pas malin de sa part
Ben tu vois, je suis prof, et je la connais même pas cette règle !!
Je refais le calcul que je viens de te faire à chaque fois ...
Chacun sa manière de voir les choses.
peut tu me donner la méthode pour exprimer un en fonction de n
j'aimerai trouvé seul mais j'ai du mal
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