***Bonjour***

Tu ne dis pas qui est , ni qui est .

Si on connaît déjà l'histoire, on peut deviner que est le cercle des complexes de module 1 et que est défini par .

Gagné ?

Si est par morceaux, on peut toujours prendre .

Tiens d'ailleurs il y a une page wikipedia "Théorème de relèvement", avec une petite erreur dans la formule intégrale.

Sur la page de wikipedia "théorème de relèvement" :

"si deux relèvements locaux de γ, définis respectivement sur deux sous-intervalles J1 et J2 de [0, 1], coïncident en un point commun, alors leur différence est nulle sur tout l'intervalle J1∩J2 d'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'elle est nulle en ce point et ne peut prendre pour valeurs que des multiples entiers de 2π."

Je ne comprends pas l'utilisation du TVI qui est mise en application pour prouver que l'application est nulle partout sur J1∩J2.

Bonjour,
L'intersection de deux intervalles est un intervalle (eventuellement vide), en particulier est connexe, et une application continue d'un connexe dans un espace discret (ce qu'est 2\pi Z) est constante.

Dans le cas de R et de ses parties connexes c'est le TVI, l'image continue d'un intervalle de R (donc connexe) est un connexe donc un intervalle de R et il n'y a qu'un seul type d'intervalle inclut dans 2\piZ, ceux réduits à un singleton (bon et l'intervalle vide).

D'accord pour la connexité.

Imaginons que a : [0,2;0,6] -> S^1 et a' : [0,4;0,7] -> S^1 deux relèvements locaux de et imaginons qu'ils coïncident en 0,5 , et donc que a(0,5) = a'(0,5).
J1 = [0,2;0,6] et  J2 = [0,4;0,7] donc   J1∩J2 = [0,4 ; 0,6].
la fonction a'-a est continue sur [0,4 ; 0,6] et s'annule en 0,5.
Pourquoi la fonction a'-a s'annulerait sur tout [0,4 ; 0,6] alors que  S^1 n'est pas un espace discret ?

Je ne vois pas pourquoi l'espace d'arrivé est forcément discret pour appliquer le résultat d'une fonction continue sur un connexe qui est connexe.

J'(ai l'impression que tu mélanges un petit peu tout.
Les relèvement locaux ne sont pas à valeurs dans Les relèvements sont à valeurs dans .
C'est le chemin que tu relèves qui est à valeur dans . Les relèvement sont à valeurs dans .
On relève le long de l'application définie par .
Soient et deux relèvements locaux du même chemin (avec et des intervalles contenus dans ). Sur , on a   et donc pour tout ,   est un multiple entier de . Autrement dit, est à valeurs dans l'espace discret .
Une fonction continue d'un espace connexe dans un espace discret est constante.

Oui, pas juste une impression de mélange, une certitude (s'il n'y avait aucune confusion il n'y aurait pas de post).

Cette explication a enlevé la confusion de mon esprit. Merci.

Avec plaisir.