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Tirer un as

Posté par
Emilie38n 03-12-22 à 18:23

Bonjour,

J'en suis à mon 2ème exercice sur les probabilités et pour celui-ci,
J'ai répondu aux questions mais je suis bloquée à partir de la 4c.
Pourriez vous vérifier et me dire si mes réponses sont justes et m'indiquer comment poursuivre ?

Merci d'avance aux personnes qui prendront le temps de me répondre.

Bonne journée

Exercice:

Un joueur tire au hasard des cartes dans un jeu de 32 cartes jusqu'à obtenir un as.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de cartes tirées par le joueur.
1) Justifier que X suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
2) Calculer l'espérance de X. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
On donnera le calcul effectué (simplifié) et une valeur approchée à 0,001 près de chaque probabilité demandée.
3) a) Calculer p(X=8). En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice
b) Calculer p(X <=8). En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice
c) Calculer p(X>10) sachant (X>4)
4) Calculer la probabilité des évènements suivants :
a) « le joueur a tiré 5 cartes pour obtenir un as »
b) « le joueur a tiré au moins 5 cartes pour obtenir un as »
c) « le joueur a tiré moins de 10 cartes pour obtenir un as »
5) Le joueur a tiré 8 cartes sans obtenir d'as.
Quelle est la probabilité qu'il doive en tirer moins de 13 pour obtenir un as ?

Mes réponses:
1) X suit une loi géométrique car c'est la répétition d'épreuves de Bernoulli (as ou pas as donc gagnant ou perdant), identique et indépendantes où S="la carte tirée est un as"

p(S) = 4/32 = 1/8  = 0.125

Comme X compte le nombre d'épreuves pour obtenir un succès, X suit alors la loi géométrique de paramètres p=0,125.

2) E(x) = 1/p = 1/0.125 soit environ 8
En moyenne, le joueur doit tirer 8 cartes pour obtenir un as

3) a) p(X=k) = p*(1-p)^{k-1}
p(X=8) = 0,125*(1-0,125)^{8-1} = 0,049

La probabilité que le joueur tire un as en ayant tiré 8 cartes est de 0,049

b) p(X<=k) = 1-(1-p)^{k}
p(X<=8) = 1-(1-0,125)^{8} = 0,656

La probabilité que le joueur tire un as en ayant tiré au plus 8 cartes est de 0,656

c) p_{(X>4)}(X>10)
=p_{(X>4)}(X>4+6)
=p_(X>6)
= 1 - p(X\leq6)
= 0,449

4) a) p(X=5)= 0,125*(1-0,125)^{5-1}= 0,073

b) p(X\geq 5) = p(X>4)
= (1-0,125)^{4}
= 0,586

Posté par
carpediemre : Tirer un as 03-12-22 à 18:47

salut

Citation :
p(S) = 4/32 = 1/8 = 0.125

Comme X compte le nombre d'épreuves pour obtenir un succès, X suit alors la loi géométrique de paramètres p=0,125.

2) E(x) = 1/p = 1/0.125 soit environ 8
il serait peut-être temps d'apprendre à travailler avec des fractions et faire du calcul exact !!

P(S) = 4/32 = 1/8

et E(X) = 1/(1/8) = ... ?

et idem pour la suite : donner des résultats sous forme de fractions irréductibles (et il n'est pas besoin de calculer certaines puissances trop élevées)

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 03-12-22 à 19:23

effectivement, je viens de refaire mes calculs avec les fractions et voici mes résultats.

2) E(x) = 1/p = 1/(1/8)= 8

3) a)
p(X=8) = 1/8*(1-1/8)^{8-1} =\frac{7^{7}}{8^{8}} =  0,049

3)b)
p(X<=8) = 1-(1-1/8)^{8} =1-\frac{7^{8}}{8^{8}} =  0,656

3)c)
p_{(X>4)}(X>10)
=p_{(X>4)}(X>4+6)
=p_(X>6)
= 1 - p(X\leq6)
= 0,449

avec p(X\leq6) = 1-\left(1-\frac{1}{8} \right)^{6} = 1-(\frac{7}{8})^{6} = 0,551

4) a) p(X=5)= 1/8*(1-1/8)^{5-1}= \frac{7^4}{8^5} = 2401/3268 = 0,073

b) p(X\geq 5) = p(X>4)
= (1-1/8)^{4} = \frac{7^4}{8^5} = 2401/4096 =  0,586

Pour la question 4c faut-il faire P(x<10) ?
Et pour la question 5 P(x<13) ?

merci d'avance pour votre aide






Posté par
carpediemre : Tirer un as 03-12-22 à 19:59

n'oublie pas que l'expérience quand tu as tiré k cartes c'est tiré k - 1 cartes qui ne sont un as et tiré enfin un as

P(X = 8) = \left( \dfrac 7 8 \right)^7 \dfrac 1 8 = \dfrac {7^7} {2^{24}} tout simplement (et je me moque de savoir combien ça fait ...)

et c'est un bon exercice pour réviser le calcul sur les puissances

P(X \le 8) est faux

P(X \le 8) = \sum_1^8 P(X = k) = ... et je t'invite à écrire explicitement cette somme pour reconnaitre ...

3c/ ok jusqu'à 1 - P(X \le 6) mais à nouveau voir le précédent

4a/ ok mais faire un calcul exact

4b/ P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) et voir la question précédente

ou tu peux remarquer que P(X \ge 5) = \sum_5^{29} P(X = k) et écrire explicitement cette somme ...

au fait pourquoi ne vais-je que jusqu'à 29 ?

Posté par
co11re : Tirer un as 03-12-22 à 20:33

Bonsoir,
Pour 4) c) oui
5) non : on sait que X > 8

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 03-12-22 à 21:01

Bonsoir,

Si j'ai bien suivi du coup, pour 4c)
il faut que je calcule P(X=1)+P(X=2)+....+P(X=9)
exact ?

5) P(8<X<13) = 1-(1-\frac{1}{8})^{13}-(1-\frac{7^8}{8^8})
=  1-(\frac{7}{8})^{13}-1+\frac{7^8}{8^8}
=-(\frac{7}{8})^{13}+\frac{7^8}{8^8}
= 0,168

Merci d'avance

Posté par
co11re : Tirer un as 03-12-22 à 21:34

4)c) oui P(X < 10) = P(X >= 9) et tu as déjà fait un calcul du même genre en 3) b)
5) ce n'est pas tout à fait P( 8<X<13). N'oublie pas le "sachant que ..."

Posté par
co11re : Tirer un as 03-12-22 à 21:40

Et ta formule donnant P(8<X<13) ne me parait pas juste.
Je pense que tu donnes P(X <= 13) - P(X <=8)

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 04-12-22 à 11:06

Merci pour votre suite mais je ne comprends pas P(X < 10) = P(X >= 9) car pour moi P(X<10)=P(X<=9) et dans ce cas, le calcul est donc
1-(1-p)^k soit 1-(1-1/8)^9
Est-ce correct ?
Merci

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 04-12-22 à 11:14

Pour la 5, avec le "sachant que...", j'ai trouvé ceci
p_{(X>8)}(X\geq 13)
= p_{(X>8}(X>14)
= p(X>6)
=(1-1/8)^6

Est-ce correct ?

Posté par
carpediemre : Tirer un as 04-12-22 à 12:00

Emilie38n @ 03-12-2022 à 18:23

On donnera le calcul effectué (simplifié) et une valeur approchée à 0,001 près de chaque probabilité demandée.

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 04-12-22 à 12:56

4c) 1-(1-1/8)^9

= 1-\frac{7^9}{8^9}

= 0.699

5) p_{(x>8)}(X\geq 13)

= p_{(X>8)}(X>14)

= p(X>6)

=(1-1/8)^6

= \frac{7^6}{8^6}

= 0.449

Est-ce que tout est ok ?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Tirer un as 04-12-22 à 13:24

je ne sais pas !! car j'attends toujours de voir les calculs explicites de

carpediem @ 03-12-2022 à 19:59

et c'est un bon exercice pour réviser le calcul sur les puissances (voir énoncé)

P(X \le 8) = \sum_1^8 P(X = k) = ... et je t'invite à écrire explicitement cette somme pour reconnaitre ...

ou tu peux remarquer que P(X \ge 5) = \sum_5^{29} P(X = k) et écrire explicitement cette somme ...

au fait pourquoi ne vais-je que jusqu'à 29 ?


le but n'est pas d'appliquer des recettes ou des formules pour donner des résultats mais de donner des résultats qui sont le fruit d'un réel apprentissage et compréhension

donc je ne peux rien te dire des valeurs approchées

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 04-12-22 à 14:06

Je ne saurai malheureusement pas vous répondre car je n'ai pas du tout vu cette formule dans mon cours ni même dans aucun des exercices faits en classe   
Je dois avouer, et vous l'avez certainement compris, que les probabilités font parties d'un cours que je ne maitrise pas du tout.

Votre aide m'a été précieuse pour avancer dans les 2 exercices.

Posté par
carpediemre : Tirer un as 04-12-22 à 15:02

tout simplement

P(X \le 8) = \sum_1^8 P(X = k) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 8) =

puis remplacer par la formule donnant P(X = k) ... et finir le calcul en reconnaissant ...

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 04-12-22 à 15:09

C'est noté, merci beaucoup

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 19:23

Bonsoir,
En 4)c) j'ai écrit une bêtise hier à 21h34. Donc je rectifie :
P(X<10) = P(X 9) et non P(X 9)
D'accord ?

Pour la suite je dois relire des messages ....
Mais peut-être est-ce trop tard ?

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 19:32

Encore sur 4) c)  ta réponse d'aujourd'hui  à 11h06 est juste

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 19:51

Oups, non elle n'est pas juste : je me suis emmêlée dans les p et 1 - p.
Dans le cadre de cet exercie, p = 1/8 donc 1-p = 7/8. Utilise donc ces valeurs, on s'y perd moins.

Et comme le fait remarquer carpediem, ta formule pour P(X k) ne va pas.
Ce serait une bonne idée de suivre sa dernière suggestion.

Posté par
carpediemre : Tirer un as 04-12-22 à 19:57

effectivement je n'avaispas vu que toutes les formules sont données :

Emilie38n @ 03-12-2022 à 18:23

3) a) p(X=k) = p*(1-p)^{k-1}

...

b) p(X<=k) = 1-(1-p)^{k}
du moins oublié cette deuxième ...

il suffit donc d'appliquer/réciter ...

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 20:27

Mais la formule donnantP(X k) est fausse non ? Ce que tu as signalé précédemment , enfin je pensais ....
Moi, par le calcul, je trouve : P(X k) = 1 - pk
Je me trompe ?

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 20:30

Ah non elle est juste !!

Posté par
co11re : Tirer un as 04-12-22 à 20:46

Bref, dans le cadre de cet exercice, et j'espère ne pas me tromper cette fois ci :
P(X = k) = (1/8) (7/8)k - 1
P(X k) = 1 - (7/8)k
On admet ou on tâche de comprendre le pourquoi.
Et ensuite, on se débrouille avec d'autres inégalités.
Par exemple (vu hier) : P(X > 6) ) = 1 - P(X 6) = (7/8)6 si je ne me trompe
.... etc

Posté par
Emilie38nre : Tirer un as 05-12-22 à 19:08

Bonsoir et merci beaucoup à tous les 2.
Je viens de terminer la rédaction de mon exercice.

Je vous dis certainement à une prochaine fois

Excellente soirée à vous

Posté par
carpediemre : Tirer un as 05-12-22 à 22:54

merci et à toi aussi

Posté par
co11re : Tirer un as 06-12-22 à 00:47

Bonne nuit à vous deux


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