Bonjour

Soit I' barycentre de (A,1), (B,2), on va montrer que I'=I
I' est sur la droite (AB)

G barycentre de (A,1), (B,2), (M,3) est aussi barycentre de (I',3), (M,3) (du fait de l'associativité des barycentres, on remplace (A,1), (B,2) par (I',1+2))

Donc G milieu de [I'M] et donc I' est sur la droite (MG)
Donc I' est bien à l'intersection de (AB) et (MG) : I'=I

Bonjour,

1.
I est sur (MG) donc il existe un réel "a" tel que I = Barycentre M,a, G,6
Donc :
I = Barycentre M,a A,1 B,2 M,3
I = Barycentre A,1 B,2 M,3+a
Or I est sur (AB), donc le coefficient de M est nul : a=-3
Et I = Barycentre A,1 B,2

^{Désolé, messages préparés en parallèle.}

Pour la suite :
On a  vu que G était milieu de [IM]
On a vu aussi que I est barycentre de (A,1), (B,2) : il ne dépend pas de M, c'est un point fixe, déterminé.

dans le triangle IMA, (GA') passe par le milieu G de [IM] et est parallèle au coté (MA) : la propriété des milieux nous permet d'affirmer que A' est alors le milieu de [IA]

dans le triangle IMB, (GB') passe par le milieu G de [IM] et est parallèle au coté (MB) : la propriété des milieux nous permet d'affirmer que B' est alors le milieu de [IB]

Ces propriétés montrent que A', B' et donc leur milieu K ne dépendent pas de l'emplacement de M, ce sont eux aussi des points fixes, déterminés.

M est sur le cercle de diamètre [AB], donc l'angle AMB est un angle droit.
Les droites (AM) et (BM) sont perpendiculaires.

La droite (GA') est parallèle à (AM) et la droite (GB') est parallèle à (BM)
Donc les droites (A'G) et 'B'G) sont perpendiculaires entre elles.

L'angle A'GB' est un angle droit.
Donc G est sur le cercle de diamètre [A'B']



En toute rigueur, il resterait à montrer si oui ou non G parcourt tout le cercle désigné.

Oui, car le point G n'est jamais indéfini quelle que soit la position de M sur le cercle de diamètre [AB], et pour tout point X du cercle rouge, la demie-droite [KX] coupe le cercle noir en un point qui est l'antécédent M qu'il faut choisir pour que G=X

Remarque : je n'ai pas répondu à cette question en suivant l'énoncé.

Bonjour Nicolas

Pour répondre dans l'esprit de l'énoncé, on va utiliser les barycentres

On a vu que
G barycentre de (I,3),(M,3), c'est à dire aussi de (I,1),(M,1), c'est à dire que G est milieu de [IM]
(GA')//(AM), donc A' milieu de [IA], comme vu précédemment, donc A' barycentre de (I,1),(A,1)
(GB')//(BM), donc B' milieu de [IB], comme vu précédemment, donc B' barycentre de (I,1),(B,1)

K milieu de [A'B'] est barycentre de (A',1),(B',1), donc aussi de (A',2),(B',2)
De par l'associativité des barycentres, et du fait que A' barycentre de (I,1),(A,1), (A',2) peut être remplacé par (I,1),(A,1)
De par l'associativité des barycentres, et du fait que B' barycentre de (I,1),(B,1), (B',2) peut être remplacé par (I,1),(B,1)

Donc K est barycentre de (I,1),(A,1), (I,1),(B,1), donc de (I,2),(A,1),(B,1)
mais (A,1),(B,1) peut être remplacé par (O,2) car O est le milieu de [AB]

Donc K est barycentre de (I,2),(O,2)
Donc K est le milieu de [IO]

Puisque G est le milieu de [IM], dans le triangle OIM, la propriété des milieux nous permet d'affirmer que

Ce qui permet de conclure que quand le point M parcourt le cercle de diamètre [AB], le point G parcourt lui aussi un cercle, de centre K (on rappelle que ce point est fixe, ne dépend pas de M), de rayon moitié.

^{Bonjour je vous laisse...}

Je crois que j'ai terminé.
habituellement, je ne donne pas la réponse avant d'avoir incité l'impétrant à chercher un peu par lui-même, mais toute règle doit souffrir d'exceptions, n'est-il pas ?
Et puis, je sens que d'autres questions viendront surement de ces premiers développements.

Merci énormément dhalte de ta vitesse d'exécution surtout que je devais en fait le rendre demain mardi. Ne t'inquiète pas j'ai très bien compris du fait de tes bonnes explications. LOL

Merci encore et bonne continuation !!

Comprendre est une bonne chose.
Savoir faire et refaire, et faire dans le même style pour des exercices un peu ou pas trop semblables, telle est la question.