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Transformations
Bonjour, besoin d'aide pour l'exercice suivant :
ABCD et AEFG sont deux carrés représentés sur la figure ce-jointe tels que : () = (
) =
.
On note M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [BD], [DE], [EG] et [GB].
1. En considérant les triangles BED et BEG, démontrer que .
2. r est la rotation de centre A et d'angle +.
a) Déterminer l'image du segment [BE] par cette rotation.
b) En déduire que MNPQ est un carré.
Je n'ai réussi à rien faire c'est pourquoi j'aimerai de l'aide !
Merci !!
Bonjour
Pour la question 1) , il s'agit de l'application du théorème des milieux dans un triangle, à savoir :
"Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté".
En considérant BED, comme M mil [BD] et N mil [ED] alors : [MN]// [BE] et vect (M,N) = 1/2 vect (B,E)
de le même façon,
En considérant BEG, comme P mil [GB] et Q mil [EG] alors : [PQ]// [BE] et vect (Q,P) = 1/2 vect (B,E)
Donc par transitivité, vect (M,N) = vect (Q,P).
Pour la question 2) a)
r est la rotation de centre A et d'angle (Pi/2) donc A est invariant et
- par construction ABCD est un carré tel que (vect(A,B), vect (A,D))=Pi/2 donc r(B)=D.
- par construction AEFG est un carré tel que (vect(A,E), vect (A,G))=Pi/2 donc r(E)=G.
il vient r([BE])= [DG].
Pour la question 2) b)
comme [DG] est l'image de [BE] par r (rotation = isométrie, donc conserve les distance)
il vient :
BE=DG
en outre r est une rotation d'angle Pi/2 (90°) donc [DG] est perpendiculaire à [BE]
De la question 1) on a : vect (M,N) = vect (Q,P) et MN]// [BE], PQ]// [BE].
En considérant GED, et en applicant le théorème des milieux,
comme P mil [GE] et N mil [ED] alors : [PN]// [DG] et vect (P,N) = 1/2 vect (G,D)
de le même façon,
En considérant DBG, et en applicant le théorème des milieux
comme Q mil [BG] et M mil [BD] alors : [QM]// [DG] et vect (Q,M) = 1/2 vect (G,D)
Donc par transitivité, vect (P,N) = vect (Q,M).
En outre comme BE=DG, il vient
PN = QM =(1/2)*DG = (1/2)*BE = MN = QP
Comme [MN]// [BE], [PQ]// [BE), que [PN]// [DG], [QM]// [DG]
et que [DG] est perpendiculaire à [BE] il vient en utilisant le théorème stipulant que
"toute droite perpendiculaire pour 2 droites parallèles, toute perpendicualire à l'une est perpendiculaire à l'autre" :
[MN] et [PQ] perpendiculaire à (DG) et donc à [PN] et [QM].
le quadrilatère MNPQ ayant ses 4 côtés égaux et perpendiculaires, MNPQ est un carré.
Cordialement
FF
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