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triangle
Bonsoir :
ABC est un triangle équilatéral de côté a.
a) Démontrez que les propositions sont équivalentes "M est un point de la médiatrice de [AC]" et "AM.AC=a²/2"
b) Démontrez qu'il existe un point M tel que AM.AB=0 et AM.AC= a²/2
c) Démontrez que ce point M appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.
j'ai dit que pour la b), si le produit scalaire=0, alors les droites sont perpendiculaires après pour le reste je ne sais pas
bonjour
a) soit B' le milieu de [AC]
AM.AC=(AB'+B'M).AC
=AB'.AC+B'M.AC
=(a/2)a-MB'.AC
=a²/2-MB'.AC
M appartient à la médiatrice de [AC] ssi MB'.AC=0
ssi AM.AV=a²/2
b)considère le repère cartésien (A;AB;AC) et M un point du plan
il existe x et y deux réels uniques coordonnées de M dans (A;Ab;AC) tels que
AM=xAB+yAC
AM.AB=xAB²+yAB.AC
=xa²+ya²/2
AM.AB=0 ssi x+y/2=0 (1)
AM.AC=a²/2 ssi xAB.AC+yAC²=a²/2
ssi xa²/2+ya²=a²/2
ssi x+2y=1 (2)
la résolution du système (1) et (2) donne x=-1/3 et y=2/3
donc
AM=(-1/3)AB+(2/3)AC M est un point unique
c) le triangle (ABM) est rectangle en A
M appartient à la médiatrice de [AC] dpnc C est le symétrique de A par rapport à (BM) donc le triangle (BCM) est rectangle en C
les deux triangle (ABM) et (BCM) ont la même hypothénus [MB] donc ABC et M appartiennt au meme cercle de diamètre [BM]
comme (BM) est la méditrice de [AC] donc M appartient au cercle circonscrit de (ABC)
Bonsoir,
je propose
b) Démontrez qu'il existe un point M tel que et
Les points M tel que forment une droite perpendiculaire à (AB) et passant par A.
Les points M tel que forment la médiatrice de [AC].
Donc le point M est l'intersection des deux droites. Ce point existe car ABC ne sont pas alignés et donc les 2 droites ne sont pas parallèles.
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